الرياضيات والهندسة

الاتّصالات عن بعد ونُظُم العدّ

2013 تبسيط علم الإلكترونيات

ستان جيبيليسكو

مؤسسة الكويت للتقدم العلمي

الرياضيات والهندسة الفيزياء

يُشير مصطلحُ الاتّصالات عن بعد (Telecommunications) إلى النقل الإلكتروني للمعلومات بين الأشخاص، وشركات الأعمال، و/أو المؤسسات الحكوميّة.

ويمكن لهذا النشاط أن يحصل عبر خطّ الاتّصالات الأرضي (نُظُم تجهيزات سلكيّة)، أو عبر اللاسلكي (موجات EM)، أو عبر جمع نمطي خطّ الاتّصالات الأرضي والاتصالات اللاسلكية. 

 

– نُظُم العدّ

يتعامل أغلبنا في الحياة اليومية مع نظام العدّ العشري (Decimal Number) الذي يستخدِم أرقاماً من المجموعة:

D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

تستطيع الآلات من مثل الحواسيب وأجهزة الاتّصالات، – وغالباً ما تفعل- الاستفادةَ من نُظُم عدٍّ أخرى. 

 

– نظام العدّ العشري

يُدعى نظام العدّ العشري المألوف أيضاً باسم نظام العدّ بـالأساس 10 Base 10، أو بـالجذر10 Radix 10.

عندما نعبِّر عن الأعداد الصحيحة (التامّة) الموجبة (أي الأعداد الطبيعيّة) في منظومة العدّ هذه فإننا نضرب الرقم الأقصى إلى اليمين بِـ 100 أو 1، ثمّ نضرب الرقمَ التالي إلى اليسار بـِ 101 أو 10، وهكذا يزداد أسّ الـ 10 كلّما انتقلنا أكثر إلى اليسار، ثمّ نقوم أخيراً بجمع القيم التي حصلنا عليها عند إجراء عمليات الضرب.

على سبيل المثال، يُحلَّل المقدار العشري 862058 كما يلي:

 

– نظام العدّ الثنائي

يُزوِّدنا نظام العدّ الثنائي (Binary) بطريقةٍ للتعبير عن الأعداد باستخدام الرقمَين 0 و1 فقط. يدعو بعضُ المشتغلين بالرياضيات هذا النظامَ بمنظومة العدّ بـالأساس 2 أو الجذر 2.

عندما نعبِّر عن الأعداد الصحيحة الموجبة في التدوين الثنائي فإننا نضرب الرقم الأقصى إلى اليمين بـ 20، أو 1، ثمّ يُضرَب الرقم إلى اليسار بـ 21 أو2، وهكذا يزداد الأسّ الذي نرفع إليه الأساسَ 2 كلّما استمرينا في الانتقال يساراً، فنحصل على رقمٍ دالّ على رتبةِ الـ "أربعة" أرقام، ثمّ على رقمٍ دالّ على رتبةِ الـ "ثمانية" أرقام، ثمّ على "ستّة عشر"، وهكذا دواليك.

على سبيل المثال، لنعتبر العدد العشري 94. سوف نكتب هذا المقدارَ في نظام العدّ الثنائي كَـ 1011110. يُحلَّل المقدار كما يلي:

 

– نظام العدّ الثمانيّ

هناك نِظامٌ آخر – يُستخدَم أحياناً في البرمجة الحاسوبيّة- يُدعى باسم نظام العدّ الثُمانيّ (Octal)، لأن له ثمانية رموز (وفقاً لطريقةِ تفكيرنا)، أي 23. ينتمي أيّ رقمٍ فيه إلى المجموعة:

O={0,1,2,3,4,5,6,7}

يدعو بعضُ الناس نظام العدّ هذا بنظام العدّ بـ الأساس 8 أو بـ الجذر 8.

عندما نُعبِّر عن الأعداد الصحيحة الموجبة في التدوين الثمانيّ فإننا نضرب الرقمَ الأقصى إلى اليسار بـ 80 أو1، ثم نضرب الرقمَ إلى اليسار بـِ 81 أو 8، وهكذا يزداد الأس الذي نرفع إليه الأساس 8 كلّما تحرّكنا إلى اليسار، وبالتالي نجد الرقمَ الدالّ على رتبة الـ "64"، ثم الرقمَ الدالّ على رتبة الـ "512"، وهكذا دواليك. على سبيل المثال، لنعتبر العدد العشريّ 3085 الذي نكتبه في النظام الثمانيّ بالشكل 6015، حيث يُحلَّل إلى المجموع التالي:

 

– نظام العدّ الستّ عشريّ

تعمل الحواسيب عادةً في نظام العدّ الست عشريّ (Hexa Decimal)، الذي يحوي 16 (24) رمزاً: الأرقام المألوفة من 0 إلى 9 مُضافاً لها ستّة رموز أخرى تُمثَّل بالأحرف الإنكليزيّة الكبيرة من A إلى F، وبالتالي لدينا مجموعة الأرقام:

H={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

يُدعى أحياناً هذا النظام بنظام العدّ بـالأساس 16 أو الجذر 16. تُمثِّل جميعُ الأرقام الستّ عشريّة من 0 إلى 9 القيمَ نفسَها التي تُمثِّلها موافِقاتُها العشريّة.

ولكن الآن لدينا الأرقام الإضافيّة التالية:

* الرقم الستّ عشريّ A، ويساوي العدد العشريّ 1

* الرقم الستّ عشريّ B، ويساوي العدد العشريّ 11

* الرقم الستّ عشريّ C، ويساوي العدد العشريّ 12

* الرقم الستّ عشريّ D، ويساوي العدد العشريّ 13

* الرقم الستّ عشريّ E، ويساوي العدد العشريّ 14

* الرقم الستّ عشريّ F، ويساوي العدد العشريّ 15

عندما نُعبِّر عن الأعداد الصحيحة الموجبة في التدوين الستّ عشريّ، فإننا نضرب الرقم الأقصى إلى اليمين بـ 160 أو1، ثمّ نضرب الرقم التالي إلى اليسار بـ 161 أو 16، وهكذا يزداد الأساس 16 كلّما انتقلنا أكثر إلى اليسار، وبالتالي نجد الرقمَ الدالّ على رتبة الـ 256، ثم على الرقم الدالّ على رتبة الـ 4096، وهكذا دواليك.

على سبيل المثال، نكتب المقدار العشري 35898 بالشكل الستّ عشريّ 8C3A. نُحلِّل هذا العدد الست عشريّ متذكّرين أن C=12 وأن A=10 كما يلي:

 

– مسألة 11-1 :   

عبِّر عن العدد الثنائي 10011011 بشكلٍ عشريّ.

الحلّ:

نستطيع أن نجمع الأرقام عبر الانتقال من اليسار إلى اليمين، أو من اليمين إلى اليسار. لا يهمّ اتّجاه الانتقال، ولكن غالبيّةَ الناس تجد أمرَ تذكُّرِ اتّجاه التقدّم أكثرَ سهولةً في أن يبتدأوا بمواضِع الـ "واحِد"، ثمّ ينتقلون من هناك إلى اليسار. يتمّ مجموع الأرقام كما يلي: 

 

– مسألة 11-2 :

عبِّر عن العدد العشري 1000000 بشكلٍ ستّ عشريّ. تنبيه: تتضمّن هذه المسألةُ بعضَ الحساب المُتعِب والمُضجِر!

الحلّ: 

تُشكِّل متتاليةُ الأرقام في عدد ستّ عشريّ صحيح (تامّ غير كسري) -عند الانتقال من اليمين إلى اليسار- متتاليةَ أُسّات صحيحة موجبة متصاعدة للأساس 16.

وبالتالي يكون للعدد الستّ عشريّ n16 الشكل:

حيث a,b,c,d,e,f, … تُمثِّل الأعداد الستّ عشريّة وحيدة الرقم والمنتمية للمجموعة:

H={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

لنبدأ بإيجاد القوة الأكبر لـ 16 بحيث تكون أصغر أو تساوي 1000000. تساوي هذه القيمةُ 164=65536. نُقسِّم 1000000 على 65536 لنحصل على 15 مع باقٍ.

نُمثِّل العدد العشريّ 15 بالرقم الستّ عشريّ F فنعرف الآن أن شكلَ التعبيرِ الستّ عشريّ للعدد العشريّ 1000000 هو   

  

 

لإيجاد قيمة d نلاحظ أنه لدينا

تقلّ هذه القيمةُ بمقدار 16960 عن 1000000، وبالتالي يجب إيجاد المساوي الستّ عشريّ للعدد العشري 16960، ثمّ نقوم بجمعه إلى العدد الستّ عشريّ F0000. إن أكبرَ قوّةٍ لـ 16 تقلّ عن (أو تساوي) 16960 هي 163، أو 4096. نُقسِّم 16960 على 4096 فنحصل على 4 مع باقٍ. نعرف الآن أن d=4 في العبارةِ أعلاه، وبالتالي يكون للعدد 1000000 الشكل الستّ عشريّ: 

 

من أجل إيجاد قيمة c نلاحظ أن:

تقلّ هذه الكمّيّة عن 1000000 بمقدار 576، وبالتالي علينا إيجاد المساوي الستّ عشريّ للعدد العشريّ 576، ثم نجمعه إلى العدد الستّ عشريّ F4000. أكبر قوّةٍ لـ 16 تصغر أو تساوي 576 هي 162 أي 256. نُقسِّم 576 على 256 فنحصل على 2 مع باقٍ. نعرف الآن أن c=2 في العبارة أعلاه، وبالتالي فإن العدد العشري 1000000 المساوي للعدد الستّ عشريّ:

 

من أجل إيجاد قيمة b نلاحظ أن:

وهذا المقدار أصغر من 1000000 بِـ 64، وبالتالي علينا إيجاد المساوي الستّ عشريّ للعدد العشري 64 ونجمعه إلى العدد الستّ عشريّ F4200. أكبر قوّة لـ 16 أصغر أو تساوي 64 هي 161 أي 16. نُقسّم 64 عل 16 فنحصل على 4 دون أيّ باقٍ. نعرف الآن أن b=4 في العبارة أعلاه، وبالتالي 1000000 المساوي للعدد الستّ عشريّ:

عندما أوجدنا b لم يتبقّ وقتها أيّ باقٍ، وبالتالي ينبغي على جميع الأرقام إلى اليمين من b (أي الرقم a فقط في حالتنا) أن تكون مساويةً للصفر.

لقد نفّذنا إجراء مُتعِب ومُمِلّ، ولكننا حدّدنا أن العدد العشري 1000000 مساوٍ للعدد الستّ عشريّ F2440. من أجل التحقّق من عملنا، نعود ونُجري الحسابَ بالاتّجاه المعاكِس، مُحوِّلِين العددَ الستّ عشريّ إلى الشكل العشريّ، حيث نضرب الأرقامَ من اليمين إلى اليسار كما يلي:

اظهر المزيد

مقالات ذات صلة

زر الذهاب إلى الأعلى
إغلاق
إغلاق