الرياضيات والهندسة

نبذة تعريفية عن مجموعة العلوم التي يشملها علم الرياضيات

1999 موسوعة الكويت العلمية الجزء العاشر

مؤسسة الكويت للتقدم العلمي

علم الرياضيات الرياضيات والهندسة الهندسة

الرياضياتُ مجموعةُ علومٍ كثيرةٍ، تشملُ الحسابَ والجبرَ والهندسةَ وحسابَ المثلثاتِ وحسابَ التفاضُلِ والتّكامُلِ.

وإذا كان الإغريقُ قد لعبوا الدورَ الأكبر في بناءِ علمِ الهندسةِ، وينسبُ إلى عالمِهِم «إقليدس» علمُ الهندسةِ الإقليديّةِ، فإنَّ العربَ هم واضعو أُسُسِ علمَيْ «الحسابِ»، و«الجَبْرِ»، وهم أوّلُ من استخدمَ لفظةَ «جبرٍ»، وعنهم نقلها الفِرِنْجَةُ.

بل إن لفظةَ «Algorithmi» التي ظلّت تشيرُ قروناً عديدةً إلى علمِ الحسابِ مأخوذةً عن اسمِ العالمِ العربي المشهور الخوارزمي.

 

كذلك كانَ للعربِ الفضلُ في فصلِ علمِ حسابِ المثلثاتِ عن علمِ الفلكِ. ومِنْ أشهرِ عُلماءِ الرياضياتِ العرب الخَوارزميُّ، وابنُ الهيثمِ، والبيروني وله نظريةٌ في استخراجِ محيطِ الكرةِ الأرضيَّةِ أورَدَها في كتابه «الأُسْطُرْلاب».

كما أنَّ لَهُ مُعادَلَةً يحسبُ بها نِصْفَ قطر الكرةِ الأرضيَّةِ، ويُعَدُّ مِنْ أَوائِلِ مَنْ وضَعوا أُسُسَ عِلْمِ حسابِ المُثَلَّثاتِ الكرويّةِ، أي المرسومة على سطح كُرَةٍ، والكِنْديُّ؛ وموسى بنُ شاكر وبنوه، وهم الذينَ رَسموا المُنْحَنى المعروفِ الآنَ باسم «القِطْعِ الناقصِ»؛ وثابتُ بن قُرَّة.

ويُعدُّ مِمَّن مَهَّدوا لِعلمِ حسابِ التَّفاضُلِ والتَّكامُلِ؛ والمَجْريطيُّ وكان إمامَ الرياضيينَ بالأندلسِ، والبوزْجَانِيُّ وقد مَهَّدَ لِعلمِ الهندسةِ التحليليَّةِ بأبحاثِهِ في علاقةِ الجبرِ بالهندسةِ.

 

وكذلكَ مَهَّدَ لحسابِ التفاضُلِ والتَّكامُلِ، ويُقِرُّ له كثيرونَ بالسبقِ في حسابِ المثلثاتِ، وابنُ يونُسَ المِصْرِيُّ الذي حَلَّ مَسائِلَ صعبةً في حسابِ المثلثاتِ الكرويَّةِ.

وقوامُ الحسابِ البدائيِّ العملياتُ الأربعُ: الجمعُ والطرحُ والضربُ والقسمةُ.

 

ومن المسائِلِ المشهورةِ في «الرياضيات» المسألةُ الآتية:

«طريقٌ به مئةُ شجرةٍ، بحيثُ توجدُ شجرةٌ في أوّلِ الطريقِ، وشجرةٌ أخرى في آخرِهِ. والمسافَةُ بين كل شجرتينِ متتاليتينِ عشرةُ أمتارٍ. كم يبلغُ طولُ الطريقِ».

 

والطالب النجيب يلاحظ أنه يمكنه أن يمثل المسألة بالشكل الآتي:

ويكون طولُ الطريق = مسافة (1) + مسافة (2) + …. + مسافة (99)

 = 99 × طول المسافة

 = 99 × 10

 = 990 متراً

 

هذا نموذجٌ لمسألةٍ حسابيةٍ. لكن ليستْ كلُّ المسائلِ الرياضيَّةِ تُحَلُّ بهذا المنهجِ الحسابيِّ البسيطِ، بل قد يصعبُ أو حتى قد يستعصي عليه الحلُّ.

ومن ثَمَّ احتاجت الرياضياتُ إلى نوعٍ من «الرَّمْزِ»، فنشأ علمُ الجَبْرِ. وإليك هذا المثال:

«عددانِ الفرقُ بينهما 24، وإذا أُضيف 8 إلى كُلٍّ منهُما، فإنَّ أكبرَ العددين الناتجين يساوي 3 أمثالِ أصغرِهما، فما العددانِ؟»

 

ونلاحظ هنا أنَّنا نحتاجُ إلى التعبير الرمزي. وليكن العددان س، س +24 والآن بإضافة 8 إلى كل منهما يصبح العددان س + 8 ، س +32

والآن، فإن أكبر العددين «س + 32» = 3 أمثالِ أصغرِ العددين

 

أي أن: س + 32 = 3 (س+8)

 = 3س + 24

ومن ثم فإن: س = 4

أي أنَّ العددين هما: 4 ، 28

 

وهناكَ ضربٌ ثالثٌ من ضروبِ الرياضياتِ: «الهَنْدسة». وهي قد تكون هندسةً مستويةً اي أن كلَّ اشكالِها تُرسمُ في مستوًى، أو هندسةً فراغيةً، إذا تعذَّر رسمُ أشكالِها في مستوًى، ورُسِمَتْ في الفراغ.

(وهناك هندساتٌ أخرى تخرجُ عن نطاق كلامِنا).

ومن أشهر النظرياتِ في الهندسةِ المستويةِ نظرياتُ فيثاغورث، وأبولونيوس، وبطليموس، وشيغا، ومنلوس.

 

وتبحثُ الهندسةُ المستويةُ في خصائص المستقيماتِ المرسومةِ في مستوًى واحدٍ، والأشكالِ المرسومةِ كذلك في مستوًى واحد، مثل المثلثِ، ومتوازي الأضلاعِ (ومن أنواعِهِ المستطيلُ والمربَّعُ) والدائرةِ.

كما تبحثُ الهندسةُ الفراغيةُ في علاقاتِ المستقيماتِ والمستوياتِ في الفراغِ، وكذلكَ في خصائصِ الأجسامِ، وحُجُومِها ومساحاتِ سُطوحها، ومن أشهر هذه الأجسامِ المنشورٌ، والهرمُ، والمخروطُ، والأسطوانةُ، والكرةُ.

ومن ذلك مثلاً أن حجمَ الكُرةِ = 

حيث ط النسبةُ التقريبيّةُ نق نصف قطر الكرةِ. أما مساحةُ سطحِ الكرةِ فتساوي 4 ط نق2.

كما نَعلمُ أن حجم الأسطوانة الدائريةِ القائمةِ هو ط نق2 ع، حيث ط النسبة التقريبية، نق نصفُ قطرَ الأسطوانة، ع ارتفاعُها.

 

ونشأت الهندسةُ المستويةُ التحليليةُ والهندسةُ الفراغيةُ التحليليةُ لتُعبِّرَ عن العلاقاتِ الهندسيةِ في حالةِ الاستواءِ والفراغِ بالصيغِ الجبريّةِ.

وفي الهندسةِ التحليليةِ المستويةِ نحتاجُ في تمثيلِ الأشكال إلى محورين، يُرمزُ لهُما عادةً بالزمزين س ، ص (المحور السيني والمحور الصادي). أما في الهندسةِ التحليليةِ الفراغيةِ فنحتاجُ إلى ثلاثةِ محاورٍ س ، ص ، ع (المحاور: السيني والصادي والعيني على الترتيب).

حيث يتحدَّدُ وضعُ أي نقطة في المستوى (أو في الفراغِ) ببعدَيْها عن المحوَرَيْنِ في حالةِ المستوى (وبأبعادها الثلاثةِ عن المستوياتِ الثلاثةِ في حالةِ الفراغِ).

 

ويُعتَبرُ عِلْمُ حسابِ المثلثاتِ مزيجاً ما بينَ الحسابِ والهندسةِ. وقد عُرِّفَتْ النسبُ المثلثيّةُ كالآتي:

لنرسم المثلث أ ب جـ قائم الزاوية في ب

جيب الزاوية أ =

وبالرموز نكتب جا أ =

 

وجيب تَمامِ الزاوية أ =

أي أن:

جتا أ = 

وظل الزاوية أ=

ونكتب ظ أ = 

 

أمّا علمُ التَّفاضُلِ والتّكامُلِ الذي مَهَّدَ لهُ العربُ كما قُلنا، فقد اكتشفَهُ كل من الفيزيائي الإنجليزي إسْحَق نيوتُن (1642 – 1727)، والفيلسوفُ الألمانيُّ جوتْفريد لَيْبِنْتِس (1646 – 1716) في نهاية القرن السابع عشر.

اكتشفه نيوتُن من وجهةِ نظرٍ فيزيائيةٍ، وهو يعالِجُ بعضَ مسائِلِ الفيزياءِ والفلك، مثلَ المسافةِ التي يَسْقُطُها حجرٌ، واعتمادُها على الزمنِ الذي يَستغرِقُهُ الحجرُ في السقوطِ.

وقوةُ الجذبِ بين الشمسِ وكوكب ما واعتمادُها على المسافةِ بينهما، بينما اكتشفَهُ لَيْبِنْتِس من وجهةِ نظر هندسية بحتة.

 

وللتَّفاضُلِ والتَّكامُلِ تَطبيقاتٌ هائِلةٌ لا تَتَّسِعُ للحديثِ عنها مُجَلَّداتٌ، ومِنها حِسابُ مساحاتِ سطوح وحجومِ بعض الأشكالِ، وأطوالِ بعضِ المُنْحَنَيَات.

ولا يكادُ يوجدُ عِلْمٌ من علومِ الفيزياءِ أو الكيمياءِ الفيزيائيةِ أو العلومِ الهندسيةِ لا يستخدمُ حسابَ التفاضلَ والتكاملِ!

ذلكَ أنه في كلِّ هذهِ المواقفِ يتغيرُ متغيرٌ ما مثل زمن سقوطِ الحجرِ، بينما يعتمدُ المتغيرُ الآخرُ (المسافةُ) عليه. وحسابُ التفاضُلِ يُوضِّحُ لنا كيفَ يؤثِّرُ التغيُّرُ في المتغيِّرِ الأوّلِ على المتغيِّرِ الثاني.

 

وفي أوائلِ السبعيناتِ دخلتْ «الرياضياتُ الحديثةُ» أو «الرياضياتُ المُعاصِرَةُ» أغلبَ مدارِسِنا في بلادِنا العربيةِ.

ولا يتوقعُ أحدٌ – بالطبعِ – أن تأتيَ الرياضياتُ الحديثةُ بنتائِجَ تُخالِفُ النتائجَ التي وصلتْ إليها الرياضياتُ التقليديةُ.

لكنّ الرياضياتِ المعاصرَةَ أشدُّ حَبْكَةً وإحكاماً في مناقشتها للأمورِ التي ناقشتها الرياضياتُ التقليديةُ من قبل، كما أنها فتحتْ آفاقاً جديدةً لم يكن باستطاعَةِ الرياضياتِ التقليديَّةِ أَنْ تُحَلِّقَ فيها.

مجلة العلوم
‫‪عناقيد الحالات: لغز رئيسي من ألغاز جائحة كورونا
قلم:      كاي كوبفرشميدت
ترجمة:   د. عبد الرحمن سوالمة
تغطية مجلة ساينس Science لكوفيد-19 بدعم من مركز بوليتزر Pulitzer Centre
في 10 مارس، عندما التقى 61 شخصًا للتدريب على التراتيل بكنيسة  في ماونت فيرنون بواشنطن، بدا كل شيء طبيعيًا. ولمدة ساعتين ونصف الساعة أنشد المنشدون، وتناولوا الكعك والبرتقال، وأنشدوا مرة أخرى. ولكن أحدهم كان يعاني منذ ثلاثة أيام ما يبدو كأنه زكام، والذي تبين فيما بعد أنه كوفيد-19 COVID-19. وفي 12 مايو نشرت ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪هل أنت سجين "غرف الصّدى"؟
. عمّار العاني باحث في المعلوماتية وتأثير وسائل التواصل الاجتماعي، سورية
في الوقت الذي تظهر فيه معظم الأبحاث العلمية أن ظاهرة الاحترار العالمي والتغير المناخي حقيقة مؤكدة، فإن نحو 15% من الجمهور لا يصدق هذه النظرية ويعتبرها خدعة من قبل الحكومات. وتظهر الإحصاءات أن نحو 5% من الأهالي يمتنعون عن تقديم اللقاحات الأساسية لأطفالهم إيماناً منهم بأخطارها، على الرغم من التوافق شبه الكامل في الأوساط الطبية على أن هذه المخاوف لا أساس لها.
   ... (قراءة المقال)
مجلة العلوم
‫‪"سرعة خاطفة": جهود أمريكية لإنتاج اللقاح تخرجإلى العلن
قلم:       جون كوهين
ترجمة:   د. عبد الرحمن سوالمة
الحكمة المتعارف عليها هي أن إنتاج لقاح لكوفيد-COVID-19 19 لن يكون ممكنا قبل سنة على الأقل من الآن، ولكن جهود الجهات التنظيمية في حكومة الولايات المتحدة، والتي تعرف بعملية السرعة الخاطفة  Operation Warp Speed أو أسرع من الضوء، لا تنطبق عليها هذه الحكمة التقليدية. وهذا المشروع،  المبهم حتى الآن، والذي من المرجح أن يُعلِن عنه البيت الأبيض رسميًا في الأيام القادمة، سيختار مجموعة متباينة ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪الإشكاليات الطبية لمرض كوفيد 19
. جمال المطر اختصاصي في أمراض الأذن والأنف والحنجرة، الكويت
تعد الكائنات الحية الدقيقة والفيروسات من العوامل الممرضة الشائعة للإنسان، ويتميز بعضها عن بعض بعدد من الخصائص والسمات. فبعض الفيروسات يصيب النباتات وبعضها يصيب الحيوانات، وهناك أنواع تصيب الإنسان مسببة له أمراضاً متنوعة مثل متلازمة عوز نقص المناعة المكتسبة الإيدز، والتهاب الكبد الفيروسي، والحصبة. ويشهد العالم حاليا أول جائحة يسببها فيروس كورونا الذي ينتمي إلى فصيلة فيروسات واسعة ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪أصبح العدو القديم حليفًا .. استخدام الفيروسات في علاج السرطان
. خالد صنبر، د. معتصم البارودي، د. نبيل أحمد باحثون في مجال الأمراض والفيروسات بكلية الطب في هيوستن، الولايات المتحدة
على الرغم من كونها أكثر الكائنات بساطًة فإن الفيروسات أتقنت عملية التطور بصورة مذهلة؛ فقد أتاح استغلال تلك المخلوقات الدقيقة لمخلوقات أكثر تعقيدًا، لحاجتها إلى التكوينات الخلوية، قدرة كبيرة لها على اجتياز العقبات التطورية. ففي جينومنا الخاص، اتخذت الفيروسات مخبئًا لإحدى أكثر الرحلات نجاحًا عبر الزمن، إذ يعتقد أن نحو %10 من ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪قصة الفيروسات .. 3 رواد أسهموا في اكتشافاتها المذهلة
. إسلام حسين باحث في مجال الفيروسات في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، الوريات المتحدة
يعتبر أواخر القرن التاسع عشر العصر الذهبي لعلم الميكروبيولوجيا علم الأحياء المجهرية، إذ شهد اكتشافات كثيرة عن بعض أنواع المكروبات، وتحديدا البكتيريا والفطريات. وأدت هذه الاكتشافات إلى تكوين نظرية شمولية عن الميكروبات، تعرف بنظرية الجراثيم germ theory، التي بنيت على معلومات توفرت لدى العلماء في ذلك الوقت. افترضت هذه النظرية توفر بعض الخصائص في أي مسبب ... (قراءة المقال)
مجلة العلوم
‫‪عناقيد الحالات: لغز رئيسي من ألغاز جائحة كورونا
قلم:      كاي كوبفرشميدت
ترجمة:   د. عبد الرحمن سوالمة
تغطية مجلة ساينس Science لكوفيد-19 بدعم من مركز بوليتزر Pulitzer Centre
في 10 مارس، عندما التقى 61 شخصًا للتدريب على التراتيل بكنيسة  في ماونت فيرنون بواشنطن، بدا كل شيء طبيعيًا. ولمدة ساعتين ونصف الساعة أنشد المنشدون، وتناولوا الكعك والبرتقال، وأنشدوا مرة أخرى. ولكن أحدهم كان يعاني منذ ثلاثة أيام ما يبدو كأنه زكام، والذي تبين فيما بعد أنه كوفيد-19 COVID-19. وفي 12 مايو نشرت ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪المادة السلبية.. أسرع من إيقاع الضوء والزمن
.أحمد مغربي طبيب ومترجم وكاتب متخصص بالموضوعات العلمية، لبنان
هل يمكن السفر بأسرع من الضوء؟ إذا كان إيقاع الزمن يسير بسرعة الضوء، وفق نظرية آينشتاين عن النسبية، ألا يكون التحرك بسرعة الضوء أو أكثر سفراً في الزمن أيضاً؟ أليس بموجب معادلة آينشتاين الشهيرة عن المادة والطاقة E=a.mc2 تتبدد المادة وتتحوّل إلى طاقة صرفة عندما تصل إلى التحرّك بسرعة الضوء، فكيف يمكن التنقل أسرع من الضوء من دون حدوث ذلك؟
 يألف عُشاق السينما أفلاماً عن آلة ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪جسور مدينة كونيجسبيرغ: لغز أثمر ولادة فرع رياضياتي جديد
أحمد محمد جواد الحكيم باحث وأكاديمي في علم الرياضيات
تتسم معظم الألغاز التي يتناقلها الناس عادة بالبساطة، وتسعى إلى تحقيق المتعة والتسلية والترفيه واختبار القدرات العقلية للفرد، من خلال التحدي والإثارة. لكن مع بساطة هذه الألغاز فقد استحوذ قسم منها على اهتمام بعض علماء الرياضيات، الذين احتاجوا من أجل حلها إلى نهج جديد من التفكير العقلي يعتمد كثيراً على الحدس وقوة التمثيل البياني لهذه الألغاز، بدلا من الطريقة الاستنتاجية المنطقية.
ومن ... (قراءة المقال)