الرياضيات والهندسة

الطرق الرياضية المتبعة لـ”حساب المثلثات”

1997 موسوعة الكويت العلمية للأطفال الجزء الثامن

مؤسسة الكويت للتقدم العلمي

طرق حساب المثلثات الرياضيات والهندسة الهندسة

كيف تستطيع قياس ارتفاع جبل إذا كنت لا تستطيع تسلُّقَه؟ وكيف تستطيع قِياسَ عرض نهرٍ إذا كنت لا تستطيع عبوره؟

حسابُ المثلثات هو فرعٌ من الرياضيات، يمكن أن يُزودنا بإجابات عن هذين السؤالين، وعن العديد من الأسئلة الممثالة لهما؛ فعلى سبيل المثال تستطيع أن تعتبر أن الارتفاع المجهول هو ضلع في مثلث، وحساب المثلثات يستطيع أن يساعِدَك في إيجاد طول ذلك الضلع المجهول بالمثلث، والذي يمثل ارتفاع الجبل.     

ويُعدّ حساب المثلثاتِ فرعَ الرياضيات الذي يستخدمُهُ بكثرةٍ الفلكيون والملاحونَ (ربابنةُ السُفُنِ)، والمساحون (رافعو الخرائط المساحية للأراضي)، وكثير غيرُ هؤلاء يستخدمون حساب المثلثاتِ.

 

وفي الواقع، إن التعبير ب «حساب المثلثاتِ» يعني أصلا (قياسَ المُثلث)؛ والفكرةُ الأساسية في حساب المُثلثاتِ هي حسابُ العلاقاتِ بين أضلاع المثلث القائِمِ الزاوية، فهذِهِ العلاقاتُ تُسمى بالنَّسَب المثلثَيةِ.

لكن حساب المثلثات أصبح اليوم يعني أكثر من مجرد قياساتِ المثلث؛ فأيّ مثلث له ثلاثة أضلاع، وقد درس علماءُ الرياضيات العلاقاتِ بين هذه الأضلاع، واستطاعوا كتابَتها في صورة نِسَبٍ بين هذه الأضلاع.

فالعلاقةُ بين أحد أضلاع المثلث القائم وضِلعٍ آخر يمكنُ كتابتَها في صورة عدد أو بصورة كمية مقسومة على كميةٍ أخرى.

 

وهم يسمون هذا النوع من العلاقة «نسبةً مثلثيةً» أو «دالةً مُثَلثيةً». وحسابُ المثلثات اليوم هو فرع الرياضياتِ الذي يتعاملُ مع الخَصائصِ والتطبيقاتِ المتعلقةِ بالنسبِ المثلية.

فإذا تصورنا المثلث ( ب د و ) القائمَ الزاويةِ في (د)، وأردنا إيجاد النسبِ المثلثيةِ في هذا المثلثِ والخاصةِ بالزاوية (د و ب)، أي الزاوية (ه،) فإن هذه النسب الستّ تكون كالتالي:

1- جيب الزاوية (ه) = أي أن جا ه =

 

2- جيب تمام الزاوية (ه) = أي أن جتا ه = 

 

3- ظل الزاوية (ه) =  أي أن ظا ه = 

 

4- ظل تمام الزاوية (ه) = أي أن ظتا ه =

 

5- قاطع الزاوية (ه) = أي أن قا ه 

 

6- قاطع تمام الزاوية (ه) = أي أن قتا ه =

 

وحِسابُ المُثلثاتِ في صورتِه البسيطة، يتعامل مع المثلثاتِ التي تقعُ على سطحٍ مُستو، أو على سطحِ كُرةٍ، وبذلك فنحنُ نستطيعُ أن نتحدث عن «حساب المثلثات المستوية» وكذلك عن «حساب المثلثاتِ الكُرَوية».

ولقد وجَدَ عُلماء الرياضياتِ أن قيمَ النسِب المثلثيةِ لها دوراتٌ، أي أنَها تتكررُ مراتٍ ومرات. وعلى ذلك فإن حساب المثلثاتِ في صورتِه المتقدمةِ الأعمق، يحتوي على التطبيقات المتعلقةِ بهذه الدورات، لوصف العديدِ من الظواهر والخصائصِ، مثل اهتزاز وتر آلة الكمان الموسيقية، أو حركةِ بندول الساعة، أو غيرِ ذلك من الظواهر ذات التغيرات الدورية.

وحسابُ المثلثات له أصولُهُ القديمةُ التاريخية، فقد نما من خلال محاولاتِ دراسةِ ووصفِ المسارات الكروية، التي يُفتَرضُ أن يتحركَ فيها كُلٌّ من الشمس والقمر والكواكبِ والنجوم.

 

وقد كان للعماء العرب القدامى إسهاماتُهم العديدةُ في مجال حسابِ المُلثاتِ، وكانتْ مُعظَمُ هذه الإسهامات مرتبطة بالفلك؛ فقد استخدموا النِّسَب المثلثية الستَّ السابقَ الحديثُ عنها، واكتشفوا عِلاقاتِ المثلثِ الكسري.

ومن أمثلة ذلك اكتشافُ العالِم العربي أبي عبدالله البتاني (877-929م) العديد من العلاقاتِ المثلثيةِ المُستوى والكرويةِ، ومنها قانونُ إيجاِد ارتفاعِ الشمس.

مجلة العلوم
‫‪عناقيد الحالات: لغز رئيسي من ألغاز جائحة كورونا
قلم:      كاي كوبفرشميدت
ترجمة:   د. عبد الرحمن سوالمة
تغطية مجلة ساينس Science لكوفيد-19 بدعم من مركز بوليتزر Pulitzer Centre
في 10 مارس، عندما التقى 61 شخصًا للتدريب على التراتيل بكنيسة  في ماونت فيرنون بواشنطن، بدا كل شيء طبيعيًا. ولمدة ساعتين ونصف الساعة أنشد المنشدون، وتناولوا الكعك والبرتقال، وأنشدوا مرة أخرى. ولكن أحدهم كان يعاني منذ ثلاثة أيام ما يبدو كأنه زكام، والذي تبين فيما بعد أنه كوفيد-19 COVID-19. وفي 12 مايو نشرت ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪هل أنت سجين "غرف الصّدى"؟
. عمّار العاني باحث في المعلوماتية وتأثير وسائل التواصل الاجتماعي، سورية
في الوقت الذي تظهر فيه معظم الأبحاث العلمية أن ظاهرة الاحترار العالمي والتغير المناخي حقيقة مؤكدة، فإن نحو 15% من الجمهور لا يصدق هذه النظرية ويعتبرها خدعة من قبل الحكومات. وتظهر الإحصاءات أن نحو 5% من الأهالي يمتنعون عن تقديم اللقاحات الأساسية لأطفالهم إيماناً منهم بأخطارها، على الرغم من التوافق شبه الكامل في الأوساط الطبية على أن هذه المخاوف لا أساس لها.
   ... (قراءة المقال)
مجلة العلوم
‫‪"سرعة خاطفة": جهود أمريكية لإنتاج اللقاح تخرجإلى العلن
قلم:       جون كوهين
ترجمة:   د. عبد الرحمن سوالمة
الحكمة المتعارف عليها هي أن إنتاج لقاح لكوفيد-COVID-19 19 لن يكون ممكنا قبل سنة على الأقل من الآن، ولكن جهود الجهات التنظيمية في حكومة الولايات المتحدة، والتي تعرف بعملية السرعة الخاطفة  Operation Warp Speed أو أسرع من الضوء، لا تنطبق عليها هذه الحكمة التقليدية. وهذا المشروع،  المبهم حتى الآن، والذي من المرجح أن يُعلِن عنه البيت الأبيض رسميًا في الأيام القادمة، سيختار مجموعة متباينة ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪الإشكاليات الطبية لمرض كوفيد 19
. جمال المطر اختصاصي في أمراض الأذن والأنف والحنجرة، الكويت
تعد الكائنات الحية الدقيقة والفيروسات من العوامل الممرضة الشائعة للإنسان، ويتميز بعضها عن بعض بعدد من الخصائص والسمات. فبعض الفيروسات يصيب النباتات وبعضها يصيب الحيوانات، وهناك أنواع تصيب الإنسان مسببة له أمراضاً متنوعة مثل متلازمة عوز نقص المناعة المكتسبة الإيدز، والتهاب الكبد الفيروسي، والحصبة. ويشهد العالم حاليا أول جائحة يسببها فيروس كورونا الذي ينتمي إلى فصيلة فيروسات واسعة ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪أصبح العدو القديم حليفًا .. استخدام الفيروسات في علاج السرطان
. خالد صنبر، د. معتصم البارودي، د. نبيل أحمد باحثون في مجال الأمراض والفيروسات بكلية الطب في هيوستن، الولايات المتحدة
على الرغم من كونها أكثر الكائنات بساطًة فإن الفيروسات أتقنت عملية التطور بصورة مذهلة؛ فقد أتاح استغلال تلك المخلوقات الدقيقة لمخلوقات أكثر تعقيدًا، لحاجتها إلى التكوينات الخلوية، قدرة كبيرة لها على اجتياز العقبات التطورية. ففي جينومنا الخاص، اتخذت الفيروسات مخبئًا لإحدى أكثر الرحلات نجاحًا عبر الزمن، إذ يعتقد أن نحو %10 من ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪قصة الفيروسات .. 3 رواد أسهموا في اكتشافاتها المذهلة
. إسلام حسين باحث في مجال الفيروسات في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، الوريات المتحدة
يعتبر أواخر القرن التاسع عشر العصر الذهبي لعلم الميكروبيولوجيا علم الأحياء المجهرية، إذ شهد اكتشافات كثيرة عن بعض أنواع المكروبات، وتحديدا البكتيريا والفطريات. وأدت هذه الاكتشافات إلى تكوين نظرية شمولية عن الميكروبات، تعرف بنظرية الجراثيم germ theory، التي بنيت على معلومات توفرت لدى العلماء في ذلك الوقت. افترضت هذه النظرية توفر بعض الخصائص في أي مسبب ... (قراءة المقال)
مجلة العلوم
‫‪"سرعة خاطفة": جهود أمريكية لإنتاج اللقاح تخرجإلى العلن
قلم:       جون كوهين
ترجمة:   د. عبد الرحمن سوالمة
الحكمة المتعارف عليها هي أن إنتاج لقاح لكوفيد-COVID-19 19 لن يكون ممكنا قبل سنة على الأقل من الآن، ولكن جهود الجهات التنظيمية في حكومة الولايات المتحدة، والتي تعرف بعملية السرعة الخاطفة  Operation Warp Speed أو أسرع من الضوء، لا تنطبق عليها هذه الحكمة التقليدية. وهذا المشروع،  المبهم حتى الآن، والذي من المرجح أن يُعلِن عنه البيت الأبيض رسميًا في الأيام القادمة، سيختار مجموعة متباينة ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪الحوسبة الحديثة .. كيف تقود المعركة ضد فيروس كورونا المستجد؟
. محمد حلمي باحث في مجال المعلوماتية الحيوية، كندا
عانت البشرية على مدار قرون هجمات متتالية من أوبئة حصدت ملايين الأرواح، لكن في العصر الحديث تسلحت البشرية بمجموعة من الأسلحة استطاعت من خلالها مواجهتها والتغلب عليها. وفي ما مضى كان انتشار الأمراض البكتيرية، كالطاعون والكوليرا والدفتريا، كافياً لتحول المرض إلى جائحة، وكانت المضادات الحيوية هي السلاح الذي حسم المعركة لصالح البشرية. أما الأمراض الفيروسية الفتاكة، كالجدري وشلل الأطفال ... (قراءة المقال)
‫‪مجرة درب التبانة و جيرانها
لسلام عليكم .. في كثير من حلقات البرنامج السابقة تكلمنا عن اهم عناصر المجموعة الشمسية التي نعيش فيها من كواكب و أقمار و كيوكبات و احزمة .. و انتهينا بشرح عن بلوتو و حدود المجموعة الشمسية .. ولكن هذه المجموعة تقع و تدور ضمن كيان و محيط اكبر .. و هي المجرة التي نعيش فيها و تحوي الملايين و الملايين من النجوم المشابهة لشمسنا و غيرها من الشموس و نطلق عليها درب التبانة .. في هذه الحلقة سنسافر في رحلة كونية بعيدة نتعرف فيها على بنية المجرة و مكوناتها ... (قراءة المقال)
مجلة العلوم
‫‪العلماء يكتشفون جوانب إيجابية للقاءات الافتراضية
بقلم:       مايكل برايس
ترجمة:   د. عبد الرحمن سوالمة
لم تكن كاثلين بروسير Kathleen Prosser، اختصاصية الكيمياء البيولوجية، تخطط لتقديم بحثها في مؤتمر هذا الربيع، ولكن عندما أجبر كوفيد-19 المنظمين على إلقاء سلسلة من اجتماعات الكيمياء المحلية في كندا، والتي كانت تسمى العطل الأسبوعية لنقاشات الكيمياء اللاعضوية Inorganic Discussion Weekends، وأن يوفروا بديلًا افتراضيًا، سجلت بروسير نفسها لتعطي محاضرتها. بروسير هي مواطنة كندية تعمل في ... (قراءة المقال)