الرياضيات والهندسة

الأعداد الخيالية والأعداد المعقدة

2013 تبسيط علم الإلكترونيات

ستان جيبيليسكو

مؤسسة الكويت للتقدم العلمي

الرياضيات والهندسة الهندسة

تُشتق مجموعة الأعداد التخيلية من الجذر التربيعي لـ 1 الذي يسميه الرياضيون العدد الخيالي الوحدة i والمهندسون المؤثِّرَ j.

إنّه العدد الذي عندما يُضرب بنفسه يُعطي ناتجاً قدره -1. دعنا نستعمل الترميز الهندسي ونسميه j، عندها، يمكن أن نقول إنّ

j x j = -1

وأيضاً، إذا ضُرب j  بنفسه، يُعطينا -1 لأنّ جداء عددين سالبين يُعطي دائماً عدداً موجباً ويكون

-j) x (-j) = -1)

 

ويختلف الجذر التربيعي الموجب لـ  -1 عن الجذر التربيعي السالب لـ  -1  مع أننا عندما نجذر أيّاً منهما، نحصل على  -1. (ننسى غالباً أن  1يمتلك على السواء جذرين تربيعيين: -1  و 1! وفي الواقع، تمتلك كل الأعداد الحقيقية جذرين تربيعيين، أحدهما موجب والآخر سالب).

يجب علينا أن نلاحظ أيضاً أن

(-j) x j =1

و

j x (-j)  =1

يمكننا ضرب j بأي عدد حقيقي X والحصول على عدد تخيلي jX. بهذا، يمكننا تمثيل مجموعة الأعداد التخيلية الممكنة جميعها على خطّ (مستقيم) أعداد خيالية يشبه خطّ الأعداد الحقيقية المعروف.

وعندما نضع خط الأعداد الخيالية على زاوية قائمة من خط الأعداد الحقيقية ونصل الخطَّين عند نقطتي صفرَيهما، نحصل على مستوي الإحداثيات المبين في الشكل 3-1.

 

الأعداد المعقّدة

عندما نجمع عدداً حقيقياً R مع عدد خيالي jX، نحصل على عدد مركب. (قد يكون المصطلح الأفضل هو الأرقام المركبة (Composite numbers) ولكن الذين عملوا مع هذا النوع من الأرقام أول ما يدعونها بالمعقدة ولم يغير أي أحد هذا المصطلح).

الأعداد الحقيقية ذات بعد واحد (one-dimensional) وتمثل على خط مستقيم متسلسل بسيط، ولذلك، تسمى مقادير سلّميّة (Scalar Quantities). كما تكون الأعدادُ الخيالية أيضاً وحيدةَ البعد يمكن تمثيلها على سلم بسيط واعتبارها سلّميّة أيضاً.

ومع ذلك، إذا رغبنا تعريفَ عدد مركب بشكل كامل، نحتاج إلى بعدين. لهذا السبب، يمثّل مُختصّو الرياضيات والمهندسون عموماً الأعداد المركبة على شكل مقادير موجهة (Vector Quantities)، ويمكننا التعبير عن أي عدد مركب على الشكل R + jX حيث يمثل كل من R وX أعداداً حقيقية وj الجذر التربيعي الموجب لـ -1.

يمكننا أيضاً تمثيل عدد مركب على شكل نقطة على مسطح إحداثيات ثنائي الأبعاد.

 

يتطلب جمع الأعداد المركبة جمع الأجزاء الحقيقية والأجزاء الخيالية بشكل منفصل، وكمثال

(4 + j7) + (45 – j83) = (4 + 45) + j(7 – 83)

= 49 + j(-76)

= 49 – j7

 

ويتمّ طرح الأعداد الخيالية بنفس الطريقة مع أنّه يجب ألا تلتبس علينا الإشارةُ، وكمثال

(4 + j7) – (45 – j83) = (4 + j7) + [ -(45 – j83)]

= (4 + j7) + [ -1(45 – j83)]

= (4 + j7) + ( -45 + j83)

= -41 + j90

 

فكرة مفيدة: يمكنك دائماً أن تطرح الأعداد الخيالية بضرب الكمية الثانية بإشارة سالب وجمع الكميتين بعد ذلك كما فعلنا في السطر الثاني للحساب أعلاه. ويساعدك هذا الاحتيال في تقليل مخاطر "أخطاء الإشارة".

اظهر المزيد

مقالات ذات صلة

زر الذهاب إلى الأعلى
إغلاق
إغلاق