الرياضيات والهندسة

الأعداد الخيالية والأعداد المعقدة

2013 تبسيط علم الإلكترونيات

ستان جيبيليسكو

مؤسسة الكويت للتقدم العلمي

الرياضيات والهندسة الهندسة

تُشتق مجموعة الأعداد التخيلية من الجذر التربيعي لـ 1 الذي يسميه الرياضيون العدد الخيالي الوحدة i والمهندسون المؤثِّرَ j.

إنّه العدد الذي عندما يُضرب بنفسه يُعطي ناتجاً قدره -1. دعنا نستعمل الترميز الهندسي ونسميه j، عندها، يمكن أن نقول إنّ

j x j = -1

وأيضاً، إذا ضُرب j  بنفسه، يُعطينا -1 لأنّ جداء عددين سالبين يُعطي دائماً عدداً موجباً ويكون

-j) x (-j) = -1)

 

ويختلف الجذر التربيعي الموجب لـ  -1 عن الجذر التربيعي السالب لـ  -1  مع أننا عندما نجذر أيّاً منهما، نحصل على  -1. (ننسى غالباً أن  1يمتلك على السواء جذرين تربيعيين: -1  و 1! وفي الواقع، تمتلك كل الأعداد الحقيقية جذرين تربيعيين، أحدهما موجب والآخر سالب).

يجب علينا أن نلاحظ أيضاً أن

(-j) x j =1

و

j x (-j)  =1

يمكننا ضرب j بأي عدد حقيقي X والحصول على عدد تخيلي jX. بهذا، يمكننا تمثيل مجموعة الأعداد التخيلية الممكنة جميعها على خطّ (مستقيم) أعداد خيالية يشبه خطّ الأعداد الحقيقية المعروف.

وعندما نضع خط الأعداد الخيالية على زاوية قائمة من خط الأعداد الحقيقية ونصل الخطَّين عند نقطتي صفرَيهما، نحصل على مستوي الإحداثيات المبين في الشكل 3-1.

 

الأعداد المعقّدة

عندما نجمع عدداً حقيقياً R مع عدد خيالي jX، نحصل على عدد مركب. (قد يكون المصطلح الأفضل هو الأرقام المركبة (Composite numbers) ولكن الذين عملوا مع هذا النوع من الأرقام أول ما يدعونها بالمعقدة ولم يغير أي أحد هذا المصطلح).

الأعداد الحقيقية ذات بعد واحد (one-dimensional) وتمثل على خط مستقيم متسلسل بسيط، ولذلك، تسمى مقادير سلّميّة (Scalar Quantities). كما تكون الأعدادُ الخيالية أيضاً وحيدةَ البعد يمكن تمثيلها على سلم بسيط واعتبارها سلّميّة أيضاً.

ومع ذلك، إذا رغبنا تعريفَ عدد مركب بشكل كامل، نحتاج إلى بعدين. لهذا السبب، يمثّل مُختصّو الرياضيات والمهندسون عموماً الأعداد المركبة على شكل مقادير موجهة (Vector Quantities)، ويمكننا التعبير عن أي عدد مركب على الشكل R + jX حيث يمثل كل من R وX أعداداً حقيقية وj الجذر التربيعي الموجب لـ -1.

يمكننا أيضاً تمثيل عدد مركب على شكل نقطة على مسطح إحداثيات ثنائي الأبعاد.

 

يتطلب جمع الأعداد المركبة جمع الأجزاء الحقيقية والأجزاء الخيالية بشكل منفصل، وكمثال

(4 + j7) + (45 – j83) = (4 + 45) + j(7 – 83)

= 49 + j(-76)

= 49 – j7

 

ويتمّ طرح الأعداد الخيالية بنفس الطريقة مع أنّه يجب ألا تلتبس علينا الإشارةُ، وكمثال

(4 + j7) – (45 – j83) = (4 + j7) + [ -(45 – j83)]

= (4 + j7) + [ -1(45 – j83)]

= (4 + j7) + ( -45 + j83)

= -41 + j90

 

فكرة مفيدة: يمكنك دائماً أن تطرح الأعداد الخيالية بضرب الكمية الثانية بإشارة سالب وجمع الكميتين بعد ذلك كما فعلنا في السطر الثاني للحساب أعلاه. ويساعدك هذا الاحتيال في تقليل مخاطر "أخطاء الإشارة".

مجلة العلوم
‫‪الهرمونات الجنسية  تفسر سبب إصابة الرجال أكثر بالفيروس
قلم:       ميريديث وادمان
ترجمة:   د. عبد الرحمن سوالمة
في يناير ذكرت إحدى أولى النشرات العلمية عن المصابين بفيروس كورونا المستجد  Novel coronavirus في ووهان بالصين، أن ثلاثة من كل أربعة أدخلوا المستشفى كانوا ذكورًا. ومنذ ذلك الوقت أكدت بيانات من مختلف أنحاء العالم أن الرجال يواجهون خطرًا أكبر للإصابة بمرض شديد أو الوفاة، وأن الأطفال مستَثْنَوْن بشكل كبير. مؤخرًا، توصل العلماء الذين يبحثون في الكيفية التي يؤدي  الفيروس بها إلى الوفاة ... (قراءة المقال)
مجلة العلوم
‫‪دراسات كبيرة تذوي آمال عقار الهيدروكسي كلوروكوين
قلم:      كاي كوبفرشميدت
ترجمة:   د. عبد الرحمن سوالمة
تغطية مجلة ساينس Science لأخبار كوفيد-19 يدعمها مركز بوليتزر Pulitzer Center.
عبر ضباب مزاعم الاستغلال، والأمل، والمبالغة في الدعاية، والتسييس الذي يكتنف الدواء هيدروكسي كلوروكوين Hydroxychloroquine، دواء لعلاج الملاريا Malaria الذي أعلن عنه كعلاج لمرض كوفيد-19 COVID-19، تبدأ حاليا الصورة العلمية بالتجلي.
الهيدروكسي كلوروكوين الذي أثنى عليه رؤساء كمعجزة شفائية محتملة ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪الإشكاليات الطبية لمرض كوفيد 19
. جمال المطر اختصاصي في أمراض الأذن والأنف والحنجرة، الكويت
تعد الكائنات الحية الدقيقة والفيروسات من العوامل الممرضة الشائعة للإنسان، ويتميز بعضها عن بعض بعدد من الخصائص والسمات. فبعض الفيروسات يصيب النباتات وبعضها يصيب الحيوانات، وهناك أنواع تصيب الإنسان مسببة له أمراضاً متنوعة مثل متلازمة عوز نقص المناعة المكتسبة الإيدز، والتهاب الكبد الفيروسي، والحصبة. ويشهد العالم حاليا أول جائحة يسببها فيروس كورونا الذي ينتمي إلى فصيلة فيروسات واسعة ... (قراءة المقال)
‫‪مجرة درب التبانة و جيرانها
لسلام عليكم .. في كثير من حلقات البرنامج السابقة تكلمنا عن اهم عناصر المجموعة الشمسية التي نعيش فيها من كواكب و أقمار و كيوكبات و احزمة .. و انتهينا بشرح عن بلوتو و حدود المجموعة الشمسية .. ولكن هذه المجموعة تقع و تدور ضمن كيان و محيط اكبر .. و هي المجرة التي نعيش فيها و تحوي الملايين و الملايين من النجوم المشابهة لشمسنا و غيرها من الشموس و نطلق عليها درب التبانة .. في هذه الحلقة سنسافر في رحلة كونية بعيدة نتعرف فيها على بنية المجرة و مكوناتها ... (قراءة المقال)
أخبار العلوم
‫‪التعديل الوراثي التخلّقي يصل إلى الحمض النووي الريبي
قلم: كين غاربر، في شيكاغو بولاية إلينوي
ترجمة: صفاء كنج
انتقلت فكرة تأثير الواسمات الكيميائية في الجينات على تعبيرها الخارجي دون تغيير تسلسل الحمض النووي اختصاراً: الحمض DNA من كونها مسألة مفاجئة في الماضي إلى أن صارت مادة مقبولة تُدرس في الكتب.
ظاهرة التعديل الوراثي التخلقي Epigenetics، وصلت إلى الحمض النووي الريبي المرسال اختصاراً: الجزيء mRNA، وهو الجزيء الذي يحمل المعلومات الوراثية من الحمض النووي إلى مصانع تصنيع البروتين في ... (قراءة المقال)
مجلة مدار
‫‪هل تنجح هيئة الخدمات الصحية في مشروع تتبع الاتصالات الذي تعده؟
جرّب الفرع الرقمي لهيئة الخدمات الصحية الوطنية اختصاراً: الفرع NHSX تطبيقا App سيخبرك ما إذا خالطت أي شخص ظهرت عليه أعراض كوفيد -19. ولكن ما هي التكلفة المترتبة على خصوصيتك جراء ذلك؟
إن أحد التحديات الكبيرة التي تطرحها مكافحة فيروس كوفيد-19 COVID-19 هو أنه معدٍ قبل ظهور أي أعراض على الأشخاص المصابين به. ويمكن أن يساعد تتبع الأشخاص الذين اختلطوا بالمصاب على الحد من انتشار الفيروس، من خلال معرفة عدد الأشخاص الذين ربما نقل إليهم المريض ... (قراءة المقال)
‫‪رسم خريطة الكواكب اكتشاف العوالم الأخرى خارج كوكبنا
ن رووني الناشر: آركتورس  14.99 جنيه إسترليني مجلد غلاف فني
يقودك تصفح رحلة آن رووني المصورة عبر المجموعة الشمسية إلى إدراك أن الكواكب الأخرى خارج كوكب الأرض كانت تعرف قبل أربعة قرون على أنها مجرد نقاط ضوء بعيدة في سماء زرقاء مخملية. وخلال عدة عشرات من الأجيال تفتحت أعيننا على ما تصفه لنا الأكاديمية والكاتبة العلمية رووني ب: طريقة مختلفة للمعرفة. فلأول مرة يسعى علماء الفلك إلى أكثر من مجرد معرفة مدارات الكواكب، ويدركون أنها عوالم مجاورة ... (قراءة المقال)
الذكاء الاصطناعي
‫‪السر المظلم في قلب الذكاء الاصطناعي
ا أحد يعرف، على وجه اليقين، كيف تقوم الخوارزميات المتطورة بما تقوم به. ربما تكون هذه مشكلة خطيرة، لأن أجهزة الحاسوب صارت مسؤولة أكثر من أي وقت مضى عن اتخاذ قرارات على جانب كبير من الأهمية.
في العام الماضي انطلقت سيارة غريبة ذاتية القيادة تجوب الطرق الهادئة في مقاطعة مونموث بولاية نيو جيرسي. فالمركبة التجريبية التي طورها باحثون في شركة صناعة الشرائح نفيديا NVidia، لم تبدُ مختلفة عن السيارات ذاتية القيادة، لكنها اختلفت تماماً عن النماذج التي ... (قراءة المقال)