علماء يسعون وراء عددٍ قد يكشف لهم حافة الرياضيات

بعض الأعداد ضخمة؛ لدرجة أنها تتحدى حدود الرياضيات الحديثة، والآن يقترب علماء الرياضيات من اكتشاف عدد قد يُمثِّل حافة هذه الهاوية العجيبة.

بقلم كارميلا بادافيك-كالاغان

يقترب بعض هواة الرياضيات من التوصل إلى عدد هائل يفوق كل تصور، حتى أنه يلامس حدود المعرفة الممكنة في إطار الرياضيات الحديثة.
ينبع كل هذا من سؤال يبدو بسيطًا: كيف نعرف إن كان برنامج حاسوبي سيستمر في العمل إلى الأبد؟ تبدأ الإجابة مع عالم الرياضيات آلان تورينغ Alan Turing‎ الذي بيَّن، في في ثلاثينيات القرن الماضي، أنه يمكن محاكاة أي خوارزمية حاسوبية من خلال تخيل «آلة تورينغ» Turing machine‎ بسيطة، تتبع مجموعة من التعليمات تُسمى الحالات States؛ فتقرأ وتكتب الأصفار والآحاد على شريط لا نهائي. وكلما ازدادت الخوارزمية ‏تعقيدًا، احتاجت إلى عدد أكبر من الحالات.‏
وكل عدد من الحالات، مثل 5 أو 100، يقابله عدد محدود من آلات تورينغ، ولكن ليس من الواضح كم من الوقت ستستغرق كل آلة منها في العمل. ويُطلَق على أطول مدة تشغيل ممكنة لعدد معيَّن من الحالات اسم عدد القندس المشغول Busy Beaver number‎، أو اختصارًا العدد BB(n)، ويتزايد هذا التسلسل بسرعة مذهلة: BB(1) يساوي 1، وBB(2) يساوي 6، لكن عدد القندس المشغول الخامس قيمته 47,176,870.
هذا في حين أن القيمة الدقيقة لعدد القندس المشغول التالي، وهو السادس، غير معروفة، لكن مجموعة إلكترونية تُسمى تحدي القندس المشغول Busy Beaver Challenge تحاول اكتشافها. اكتشفت المجموعة العدد BB(5)‎ في العام 2024، لينهوا بذلك بحثًا ماراثونيًّا دام 40 عامًا. حاليًا، اكتشف أحد أعضاء المجموعة، ويُعرِّف عن نفسه باسم mxdys أنه يجب أن يكون على الأقل بحجم ضخم جدًّا، لدرجة أن مجرد وصفه يتطلب بعض الشرح.
يقول شون ليغوتسكي Shawn Ligocki، مهندس البرمجيات وأحد المساهمين في مجموعة تحدي القندس المشغول: «هذا العدد يتجاوز حدود الفيزياء بدرجة لا تُصدَّق، إنه أمر لا يحتمل حتى المُزاح بشأنه». ويُشبّه البحث في جميع آلات تورينغ المُمكنة بالصيد في بحر رياضياتي عميق مظلم، لا تسبح فيه سوى شيفرات غريبة وغامضة.
الحد الجديد للتحدي BB(6) كبير جدًّا، إلى درجة تتطلب لغة رياضية تتجاوز الرفع إلى الأس – أي رفع عدد n إلى قوة عدد آخر x، أو ‎nx، مثل 23، التي تساوي 2×2×2 = 8‏‎.‎‏ ‏أولًا، هناك ما يُعرف بالتتابع الأسي Tetration، أو الرفع الأسي المتكرر، ويُكتب أحيانًا على شكل ‎nx، ويتضمّن تكرار عملية رفع عدد إلى القوة نفسها بشكل متسلسل؛ لذا فإن 23 تعني 2 مرفوعًا إلى القوة 2، ثم الناتج مرفوعًا مرة أخرى إلى القوة 2، وهو ما يساوي 16.
ومن المثير للدهشة أن mxdys قد بيَّن أن BB(6) يساوي، على الأقل، العدد الناتج من عملية رفع العدد
2 إلى القوة 2، ثم الناتج إلى القوة 2… وهكذا حتى العدد 9، أي أنه برج من عمليات التتابع الأسي، وكل عملية تتابع أسي تشكل بدورها برجًا من عمليات الرفع إلى الأس. ويقول ليغوتسكي إن عدد الجسيمات في الكون يبدو تافهًا مقارنة بهذا العدد.
لكن أعداد القندس المشغول ليست مهمة لمجرد حجمها الهائل. أثبت تورينغ أنه لا بد من وجود آلات تورينغ لا يمكن التنبؤ بسلوكها، بموجب نظرية زيرميلو–فرينكل مع مسلّمة الاختيار، والمعروفة باسم النظرية ZFC، وهي النظرية الأساسية التي تُستخدَم حاليًا كأساس صارم للرياضيات الحديثة القياسية. وقد استلهم فكرته من نظرية عدم الاكتمال Incompleteness theorem‎ لعالم الرياضيات كورت غودل Kurt Gödel، والتي بيَّنت أن قواعد النظرية ZFC نفسها‏ لا يمكن استخدامها‏ للبرهنة على أن هذه النظرية متماسكة منطقيًّا، وخالية تمامًا من التناقضات.
يقول سكوت آرونسونScott Aaronson ‎، من جامعة تكساسUniversity of Texas ‎ في أوستن: «إن دراسة أعداد القندس المشغول تجعل الظواهر التي اكتشفها غودل وتورينغ، قبل نحو قرن، لم تعد مجردة، وإنما قابلة للقياس والتحديد… بدلًا من الاكتفاء بالقول إن بعض آلات تورينغ يجب أن تتجاوز قدرة ZFC على تحديد سلوكها بعد نقطة ما، يمكننا حاليًا أن نسأل: هل يحدث ذلك بالفعل مع آلات من ست حالات، أم أنه لا يظهر إلا مع آلات تضم 600 حالة؟ أثبت الباحثون – حتى الآن – أن قيمة BB(643) قد تتجاوز قدرة النظرية ZFC، لكن العديد من الأعداد الأصغر لم تُدرَس بعد.
يقول عالم الحاسوب تريستان ستيرين Tristan Stérin‎ الذي أطلق تحدي Busy Beaver في العام 2022: «تمنحك مسألة القندس المشغول مقياسًا ملموسًا جدًّا للتأمل في آفاق المعرفة الرياضية».
في العام 2020، كتب آرونسون أن الدالة Busy Beaver «ربما تُشفِّر جزءًا ضخمًا من مجمل الحقائق الرياضية المثيرة للاهتمام ضمن قيمها المائة الأولى»، والقيمةBB(6) ليست استثناء. يبدو أن لهذه القيمة علاقة بتخمين كولاتز Collatz conjecture، وهي مسألة رياضية شهيرة لم تُحل بعد، تقوم على تكرار عمليات حسابية بسيطة على الأعداد، بهدف معرفة ما إذا كانت ستؤول – في النهاية – إلى الرقم 1. ويُعتقَد أن إيجاد قيمة BB(6) مرتبط بآلة تورينغ ينبغي لها أن تحاكي بعض خطوات هذه المسألة لكي تتوقف. وإذا تبيَّن أن هذه الآلة تتوقف فعلًا، فسيكون ذلك مؤشرًا على وجود برهان حسابي لإحدى صور هذا التخمين.
الأعداد التي يتعامل معها الباحثون هائلة بالفعل، لكن إطار عمل دالة القندس المشغول يوفر وحدة قياس لما كان سيبدو – لولا ذلك – مجالًا عصيًّا على الفهم في الرياضيات. ويرى ستيرين أن هذا هو ما يجعل كثيرًا من المساهمين يواصلون العمل بشغف، على الرغم من أن معظمهم ليسوا من الأكاديميين. ويُقدِّر أن هناك حاليًا بضع عشرات منهم يعملون باستمرار على محاولة إيجاد قيمة BB(6).
ويقول إن عدة آلاف من آلات تورينغ «العنيدة» لم يتسنَ بعد التحقق مما إذا كانت تتوقف أم لا. ويقول ليغوتسكي: «قد تكون إحدى هذه الآلات قريبة، لكن غير قابلة للتعرف عليها»، أي أنها مستقلة عن النظرية ZFC، وخارج حدود ما يمكن إثباته في إطار الرياضيات الحديثة.
فهل يمكن أن تكون قيمة BB(6) الدقيقة قاب قوسين أو أدنى؟ يقول كل من ليغوتسكي وستيرين إنهما يعرفان جيدًا أنه ليس من الحكمة التنبؤ بمستقبل هذه الدالة، لكن النجاح الأخير في تضييق نطاقها يمنح ليغوتسكي «حدْسًا بأننا سنحصل على مزيد»، على حد قوله.