الرياضيات والهندسة

الكواكب والقطرات الدوّارة ونوى الذرّات

2000 الرياضيات والشكل الأمثل

ستيفان هيلدبرانت و انتوني ترومبا

مؤسسة الكويت للتقدم العلمي

الرياضيات والهندسة الهندسة

هناك ثلاث ظواهر يمكن تفسيرها بمبدأ تغيري variational principle واحد مؤسَّس على مبدأ برنولي في العمل الافتراضي. وتنتمي هذه الظواهر إلى حقول الفلك وديناميك السوائل والفيزياء النووية، مع أن هذه الحقول تبدو للوهلة الأولى وكأنها لا رابطة بينها. وتحديداً، فإننا سندرس الكتل السائلة الدوارة الذاتية التثاقل rolating and self-gravitating liquid masses وذات الكثافة المتجانسة، ثم ندرس قطرات سائلة دوارة لها توتر سطحي rolating liquid drops endowed with surface tension، وأخيراً نتناول نوى الذرات باندفاع (زخم، كمية حركة) زاويٍّ angular momentum أو من دونه.

ومن الممكن إدراج جميع هذه المواضيع في ثنايا المسألة العامة التالية. لنتصور كمية معينة من مائع متجانس موجودة في لطخة واحدة أو عدة لطخات (أو، كما يقول علماء الرياضيات، موزعة في مساحة مترابطة connected أو غير مترابطة nonconnected) ) وكل جزء من السائل قد يكون بسيط الترابط) simply connected  مثل الكرة) أو مضاعف الترابط multiply connected (مثل جسم ذي مقبضٍ).

وسنفترض عدم وجود قوى خارجية (كالثقالة) مؤثرة في السائل، وأن جميع القوى الفاعلة مولدة بالمائع نفسه. وهذا لا يستثني ظاهرة التثاقل الذاتي self-gravitation التي تؤثر عندما تكون كتل السائل كبيرة جداً فقط. وينشأ التثاقل الذاتي عن جذب attraction كل جزء من السائل لأي جزء آخر منه طبقاً لقانون نيوتن في التثاقل. وتسعى هذه القوة إلى جعل أجزاء السائل قريبةً بعضها من بعض. لنفترض كذلك أن للتوتر السطحي تأثيراً ما، أو بعبارة أخرى، فإننا سنختار سوائل سطوحها مغطاة بقشرة لدنة تمارس أيضاً تأثيراً تقليصياً (قابضاً) contractive في السائل. إضافة إلى ذلك، سنفترض أنه توجد قوتان مشتتان، هما القوة الكهرسكونية electrostatic والقوة النابذة (الطاردة)  centrifugal، تعملان ضد قوتي الجذب هاتين. وإذا كان السائل يحمله شحنة كهربائية منتظمة فإن كل جزء يبعد عنه كل جزء آخر وفق قانون كولون Coulomb. وأخيراً،  إذا كان السائل يدور بسرعة زاوية منتظمة حول مركز كتلته كالجيروسكوب gyroscope فأن كل جزء سيكون خاضعاً لقوى طاردة تسعى إلى تشتيت السائل.

ويقال عن جسم سائل إنه في حالة توازن جيروسكوني (أو نسبي) gyrostatic (or relative) equilibrium إذا كان يدور كالجيروسكوب. وإذا كان راصد جالساً في مكان داخل السائل وليس له صلة بالعالم الخارجي. فلن يلاحظ الدوران، وسيظن أن الجسم في حالة سكون.

وهكذا توجد في التوازن الجيروسكوني أربعة أنواعٍ من القوى توازن بعضها بعضاً، إذ إن القوتين التقليصيتين (القابضتين)، وهما التوتر السطحي والتثاقل الذاتي، توازنان القوتين الكهرسكونية والنابذة المشتتين.

والسؤال الواضح الذي يرد في هذا الصدد هو : ما الأشكال الممكنة التي تتخذها الأجسام السائلة في التوازن الجيروسكوني؟ كما يرد السؤال التالي : ما الجسام التي هي في حالة توازن جيروسكوني مستقر؟

ووفقاً لمبدأ العمل الافتراضي الذي اقترحه برنولي، فإن التوازنات هي حالات توقف stationary للطاقة الكامنة، كما أن التوازن المستقر يوافق قيماً أصغرية للطاقة الكامنة.

إن الطاقة الكامنة الكلية لجسم سائل هي مجموع أربعة حدود:

الطاقة الكلية = طاقة السطح + طاقة التثاقل

                        + الطاقة الكهرسكونية + طاقة الدوران

حيث تكون الطاقة الكامنة للتوتر السطحي متناسبة مع مساحة سطح الجسم السائل، وحيث يعني حد "طاقة الدوران" الطاقة الكامنة للقوى النابذة.

ومن الوجهة التاريخية، فإن أقدم مثال جرت دراسته كان يتعلق بالأجسام السائلة الدوارة التي كانت تستعمل كنماذج للكواكب، وفيما بعد، للنجوم والسُّدم. وفي هذه الحالة تكون قوى التجاذب الذاتي الناجمة عن التثاقل هي من الشدة بحيث يمكن إهمال تأثير التوتر السطحي. وقد جرت أولاً دراسة الأجرام السماوية غير المشحونة، التي ترد طاقتها الكامنة إلى مجموع طاقة التثاقل وطاقة الدوران.

استهلت نظرية الأجرام السماوية الدوارة استناداً إلى بحوث .I> نيوتن< و .C>ماكلورين< و  .C-A>كليرو<. بيد أن الأرصاد التجريبية لدوران الأجرام السماوية حول محاورها كانت قد بدأت في الواقع في زمن أبكر.

لقد رصدت البقع (الكلف) الشمسية خلال زمن طويل دون الاستعانة بالمقاريب  telescopes، وكان من المعلوم أن هذه البقع تغير مواقعها. وفي خطوط العرض للبلدان الأوروبية، تتحرك البقع الشمسية من الجانب الأيسر للشمس إلى جانبها الأيمن. وقد غدت هذه الأرصاد أكثر دقة عندما أصبح الفلكيون قادرين على رؤية الشمس بوساطة المقراب الانكساري refracting telescope. وفي عام 1611، ذهب الفلكي الألماني فابريسيوس إلى أن هذه البقع كانت أجزاء من الشمس، وأن حركتها ناجمة عن دوران الشمس حول محورها- وهذا في الواقع اكتشاف مثير! وفي عام 1612 قام كاليليو في إيطاليا و .Th>هاريوت< في إنكلترا و .Ch.J>شاينر< في ألمانيا بنشر أرصادهم الخاصة. ففي حين توصل كاليليو إلى نفس تعليل فابريسيوس لحركة البقع، فإن شاينر ذهب إلى أن هذه البقع كانت كواكب سيارة صغيرة تدور حول الشمس. وفي عام 1613 نشر كاليليو بحثاً فند فيه برهان شاينر، وأيد علناً، ولأول مرة، نظرية كوبرنيك الشمسية. أما شاينر، الذي سلم في نهاية المطاف بأن كاليليو كان على حق، فقد تابع عمله وتوصل إلى نتائج رصدية أدق من تلك التي كان قد حصل عليها كاليليلو، واستنتج أن الشمس تتم دورة كاملة حول محورها في غضون 27 يوماً.

بدأت النظرية الرياضياتية للنجوم الدوارة بكتاب نيوتن الذائع الصيت المبادئ Principia وطبقاً لهذه النظرية، فإن سائلاً يدور حول محوره ببطء لا بد من أن ينبسط بالضرورة عند قطبيه (وهما نقطتا تقاطع السائل بمحور الدوران). وقد رأينا كيف أن تحقق هذه النبوءة من قبل موپيرتوي قاده في نهاية المطاف إلى قبول الفيزياء بادئ الأمر على إنجازه، بكتابة البيتين الخبيثين التاليين فيما بعد:

لقد أثبت في أماكن يسودها الملل وتملؤها الوحول،

ما عرفه نيوتن القابع في مكتبه الصغير العرض والطول.

ترى، ما هو الشكل التوازني لجسم سائل متجانس ذي حجم مفروض V ويدور حول محور؟ إن أبسط شكل فضائي مغاير للكرة هو مجسم كرواني مفلطح oblate spheroid ، وهو مجسم يولَّد بقطع ناقص يدور حول محوره الصغير، كما هو مبين في اليسار.

والمجسم الكرواني هو حالة خاصة من مجسم القطع الناقص ellipsoid الذي مقاطعه المستوية محدودة جميعها بقطوع ناقصة (أو بدوائر، التي هي قطوع ناقصة خاصة). ولكل مجسم قطع ناقص ثلاثة محاور أساسية principa axes كل منها يعامد الاثنين الآخرين وتمر جميعاً بمركز المجسم، وأنصاف الأقطار الأساسية principal radii c, b, a هي المسافات الفاصلة بين المركز ونهايات المحاور الأساسية الموجودة على سطح مجسم القطع الناقص. فإذا كان a هو أكبر هذه الأعداد الثلاثة و c أصغرها، أي a ≥ b ≥ c ، فإن a هي أكبر مسافة تفصل المركز عن السطح، و c أصغر مسافة. ويتميز المجسم الكرواني المفلطح بالعلاقة a = b > c، في حين يحقق المجسم الكرواني المتطاول prolate الشرط . a > b = c

وفي عام 1742، حين لم تكن قد تطورت بعد نظرية عامة في توازن السوائل، توصل .C>ماكلورين< إلى النتيجة الجملية التالية:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

وتعني عبارة "ليست جد كبيرة" هنا أن السرعة الزاوية يجب ألا تتجاوز المقدار

1.88  WL =

حيث ترمز D إلى كثافة السائل و G إلى ثابت التثاقل في قانون نيوتن، وإذا تقاربت W من القيمة النهائية WL ، فإن هيئة كل من مجسمي ماكلورين الكروانيين تتقارب من هيئة مجسم كرواني واحد يدور بالسرعة الزاوية. WL

وحينما تقترب قيمة W من الصفر (أي حينما تتباطأ سرعة الدوران إلى الصفر)، فإن أحد مجسمي> ماكلورين< الكروانيين يصبح شبيهاً أكثر فأكثر بكرة حجمها  V، وهي الشكل التوازني المعروف في السكون المطلق  (W=0)، في حين يتقارب شكل المجسم الثاني من قرص "قطرة غير منته".

وقد كان من المعتقد طوال قرابة قرن من الزمان أن مجسمي ماكلورين الكروانيين هما الشكلان الوحيدان الممكنان اللذان يمكن أن تتخذهما في حالة التوازن الجيرسكوني الأجسام المكونة من سوائل متجانسة والتي تدور بانتظام حول محور، هذا وقد ادعى لاكرانج استحالة وجود أي أشكال توازنية أخرى، غير أن هذا لم يكن صحيحاً إذ اكتشف جاكوبي عام 1843 ما يلي:

يوجد لكل حجم V وكل قيمة W للسرعة الزاوية مغايرة للصفر وليست جد كبيرة شكل توازني بهيئة مجسم قطع ناقص تخالفي asymmetric (a > b > c) يدور حول المحور ذي نصف القطر الأساسي الأصغر  c.

ويعني هذا، كي نكون دقيقين، أن w يجب أن تبقى أصغر من

= 1.048   Wj

لاحظ أن Wj أقل من  WL.

ولدى اقتراب w من القيمة  Wj، فإن مجسم القطع الناقص الذي اقترحه جاكوبي سيصبح في النهاية مشابهاً لأحد مجسمي ماكلورين الكروانيين (اللذان يدوران بالسرعة الزاوية (Wj ، أما إذا اقتربت قيمة w من الصفر، فإن مجسم جاكوبي سيغدو في نهاية الأمر مشابهاً لإبرة غير منتهية الطول. ترى، كيف يمكن أن تكون الحياة على كوكب رفيع جداً وطويل جداً ويدور على نحو بطيء جداً جداً؟

وثمة حادثة مثيرة أخرى تتجلى باكتشاف توصل إليه عام 1855   . H>پوانكاريه< (1854-1912) الذي وجد أن هناك طائفة جديدة من الأشكال التوازنية الشبيهة بالإجاصة تتشعب من عائلة مجسمات جاكوبي الناقصية، تماماً كما تتشعب من مجسمات جاكوبي هذه طائفة مجسمات ماكلورين الكروانية. وقد خمن پوانكاريه أن الجسم الشبيه بالإجاصة يتحول لدى تشعبه على نحو مستقر ومستمر إلى كوكب يرافقه قمر (تابع). وقد ادعى إضافة إلى ذلك أنه يجب أن يوجد في سلسلة نقاط تشعب أخرى ينجم عنها فروع مستقرة أخرى تتطور في نهاية المطاف إلى كواكب يرافقها قمران أو ثلاثة أو أكثر.

 

 وبهذه الطريقة تصور پوانكاريه مخططاً شاملاً بإمكانه تعليل نشوء النظام الشمسي بسيرورة تطورية، وليس نتيجة لكارثةٍ مفاجئةٍ.

إذا قبلنا فرضية كانت ولاپلاس في نشوء الكون، فإن نظامنا الشمسي كان في البداية كرة غازية ضخمة ذات كثافة جد صغيرة وتدور ببطء. وإذ ذاك يؤدي التثاقل الذاتي إلى تقليص الغاز، وهذا يتمخض عنه زيادة الكثافة والسرعة الزاوية وتحويل المادة من الحالة الغازية إلى الحالة السائلة. ومع تزايد الكثافة والسرعة، فإن المادة التي كانت في الأصل كروية الهيئة تتحول أكثر فأكثر إلى نقطة تشعب مجسمات جاكوبي الناقصية. وعند هذه النقطة، تفقد مجسمات ماكلورين الكروانية استقرارها، في حين تكون مجسمات جاكوبي الناقصية أشكالاً مستقرة. ولهذا السبب، فإن الجسم السائل يتغير إلى مجسم جاكوبي الناقصي، ثم يتحول بتقلص أقوى إلى جسم شبيه بالإجاصة ينشطر في نهاية المطاف إلى جسمٍ رئيسي وتابع له.

بيد أن پوانكاريه لم يجر قط الحسابات التفصيلية الضرورية لإرساء هذا السيناريو على أسس متينة، وكان من نفذ هذه الحسابات هو  G>داروين< (1845-1915) الذي ادّعى بأنه أثبت استقرار الأشكال الإجاصية. ومن سوء الحظ، فقد تمكن .A>ليپونوف< (1875-1918) من تفنيد حسابات داروين، كما توصل علماء آخرون إلى النتيجة نفسها. وهذا أدى إلى انهيار نموذج پوانكاريه الرائع. لكن نظرية التشكلات التوازنية تطورت بفضل بحوث پوانكاريه وليپونوف وبفضل نظرية التشعب bifurcation theory في التحليل غير الخطي التي طورها فيما بعد ليختنشتاين. وتمثل هذه النظرية أداة رئيسية في ميادين علمية مختلفة كميكانيك الموائع والبيولوجيا الرياضياتية ونظرية اللدونة.

لنعد إلى كرتنا الدَّوَّامة (التي تدور بسرعة حول محورها) spinning من السائل؛ لقد كان معلوماً أيضاً أن شكلاً ما لا يمكن أن يكون في حالة توازن جيروسكونيٍّ إذا كانت سرعته الزاوية w  كبيرة جداً. وفي الحقيقة، فلا يكون التوازن الجيروسكوني ممكناً إذا كان W2 أكبر من 2πGD والمخرج الوحيد من هذه الأزمة هو أن نأخذ أجساماً سائلة دوارة يقوم السائل فيها بحركة داخلية دون أن تتغير أشكالها. إن هذا هو "نمط توازني أضعف" بكثير، لكن من المحتمل جداً أن يكون أكثر واقعية. وقد قام بدراسته ديريخليه وريمان بين عامي 1858 و 1860. وقد أتم هذا البحث شاندرا سيخار في الستينيات من القرن العشرين.

لننظر الآن في قطرات صغيرة من الزيت نأخذها، طبقاً لتجربة پلاتو، معلقة في سائل آخر له الكثافة نفسها. وإذ ذاك يكون التوتر السطحي هو القوة المهيمنة، في حين يكون التجاذب الذاتي مساوياً فعلياً للصفر. سنفترض، فضلاً على ذلك.

 

أن قطرات الزيت غير مشحونة. وهنا تكون الطاقة الكامنة هي مجموع طاقة السطح وطاقة الدوران (يهمل أثر احتكاك السائل المضيف).

ولمتابعة تجارب پلاتو، سنتصور أن قطرة معلقة من الزيت تمس بقرص صغير، كما هو مبين في الشكل العلوي، وأن هذا القرص موصول بسلك رفيع يمكننا من تدوير القرص، الأمر الذي يجعل القطرة تدور بفعل الاحتكاك. وبزيادة السرعة الزاوية، فإن تأثير القوى النابذة يتزايد أكثر فأكثر. وإذ ذاك تنبسط قطرة الزيت في القطبين وتنتفخ عند خط استوائها. وعند زيادة السرعة أكثر، تنفصل عن القطرة حلقة (انظر الشكل السفلي). لكن هذه الحلقة تعود إلى الاتصال بالقطرة المركزية لدى تناقص السرعة. بيد أنه إذا زادت السرعة أكثر من ذلك، فإن الحلقة تنقسم إلى قطرات صغيرة عديدة ذات حجوم مختلفة.

وتذكر هذه التجربة بنظام شمسي ذي جسم مركزي ضخم محاط بأقمار صغيرة. وتشبه الحلقة حلقات المشتري وزحل. بيد أن هذه التجرية لا تسمح لنا باستخلاص أي نتيجة حول نظامنا الشمسي ذلك أن القوى الفاعلة في الحالتين مختلفة إلى حد ما.

ومنذ عهد قريب، جرت إعادة تجارب پلاتو وتحسينها من قبل علماء في مختبر الدفع النفاث Jet Propulsion Laboratory  في كاليفورنيا. وفضلاً على أشكال پلاتو ذات المحاور التناظرية والشهبية بالحلقة، فقد اكتشفوا أشكالاً توازنية زذات فصين وثلاثة فصوص وأربعة فصوص. ولدى زيادة السرعة، كانت الأشكال تتحول إلى شكل وحيد الفص. هذا ولا وجود في الوقت الحالي لأسلوب مرض لشرح هذا كله، ذلك أن الاحتكاك بين السائل المضيف وقطرة الزيت لا يمكن إهماله. ويسبب هذا الاحتكاك جريانات داخلية تصبح مهمة جداً حال تشكل الفصوص.

 

 

 

لننتقل أخيراً إلى نوى الذرات. لقد طور .G>كامو< عام 1929 أو نموذج للنوى، ألا وهو نموذج قطرة سائل drop model . ويمكننا تصوير نواة كقطرة سائل مشحونة بانتظام وذات توتر سطحي، إما في حالة سكون، وإما في النموذج الأدق – في حالة دوران حول محورٍ. ويبين الشكل العلوي مخططاً للطاقة الكامنة لنواة غير دوراة، حيث تمثل الطاقة الكامنة "بالارتفاع" فوق الحالات المقابلة للنواة. ويكون للطاقة الكامنة للقطرة قيمة أصغرية مطلقة إذا اتخذت شكل

 وإذا لم توجد شحنة. فإن كرتين، أو أي عدد من الكرات، ستوفر قيمة أصغرية محلية للطاقة الكامنة. بيد أنه إذا كانت الكرات مشحونة، فإنها تتنافر مبتعدة إلى ما لانهاية. وهكذا فإن عدة كرات في اللانهاية (أي موجودة على بعد كافٍ بعضها عن بعض) هي تشكلات توزانية أيضاً، وتنبئنا "ممهدة الممر الجبلي" mountain-pass lemma أنه يجب أن يوجد سرج (ممر جبلي) في مخطط الطاقة في مكان ما بين "الحفر" الممثلة لواحدةٍ أو أكثر من الكرات المشحونة في اللانهاية. هذا الممر الجبلي حالة فيزيائية للتوازن غير المستقر. وفي مخطط للطاقة ذي حفرة وحيدة وموافقة لتشكل كروي مفصول بممر عن الوادي الثنائي لكرتين في اللانهاية. فإن الممر يوافق شكل ساعة رملية ذات تجويفين متساويين. ويعتمد شكل الساعة الرملية على قيمة وسيط فيزيائي (انظر الأشكال السفلية الصفحة 166). وارتفاع النقطة السرجية فوق الحفرة الوحيدة الكرة هو حاجز الطاقة energy barrier الذي يفصل بين النواة الوحيدة الكرة وبين الانشطار. وإذا زودنا النواة بطاقة – كأن نضخها بنيوترون- أمكننا توليد اهتزازات في النواة، وإذا حركت هذه الاهتزازات النواة بحيث تتجاوز حاجز الطاقة. فإن النواة تنشطر آنذاك إلى شطرين.