الرياضيات والهندسة

الافتراضات الناتجة عند استخدام “الانحدار الخطي البسيط”

2012 استخدام الإحصاء لفهم البيئة

فيليب ويذر وبني أ.كوك

KFAS

الانحدار الخطي البسيط الرياضيات والهندسة الهندسة

بالاضافة إلى الافتراض بأن العلاقة بين x و y خطية، فهناك افتراضات أخرى عديدة تنطبق عند استخدام الانحدار وهي مذكورة أدناه:

1- المتغير المستقل (x) مثبت جانب الباحث أو معروف بدون خطأ (أي أنه ليس متغير يتم قياسه). وفى المثال المستخدم هنا فإن المسافات المختلفة من الطريق قد تقررت مقدماً قبل البحث.

ولذلك فإن القيم x معروفة أنها بدون خطأ، وبالنسبة للعديد من مشروعات البحوث البيئية فإن كل من x و y متغيرات مقاسة، ولكن ما زلنا نرغب في إجراء التنبؤات بين أحدها والآخر، ومن المقترح أنه حتى إذا كان هناك خطأ في قياس x، فإن تقديم حجم هذا الخطأ لا يزيد أو ينقص مع حجم x، ولذلك فإن الانحدار الخطي البسيط ما زال أسلوباً فعالاً – انظر على سبيل المثال سوكال ورولف (1995).

وفحص البواقي (انظر 3 أدناه) سيساعد في تعريف ما إذا كان هذا التأثير يتم بالفعل. وحيثما كان هذا الافتراض غير قائم توجد أساليب بديلة متوافرة (تسمي أساليب النموذج 2 للتمييز بينها وبين الانحدار الخطي البسيط وهو أسلوب النموذج 1).

وعلى الرغم من أن أساليب الانحدار للنموذج 2 تقوم بحساب خط الانحدار يجب ألا تستخدم للتنبؤات – انظر سوكال ورولف (1995) للمزيد من التفاصيل.

 

2– بالنسبة لكل قيمة معروفة x فإن قيمة المتغير التابع (y) حرة في التغير ويجب أن يكون لها توزيع طبيعي حول كل قيمة x.

وهكذا فإننا نفترض أنه بالنسبة لقيمة معينة x متر حول الطريق، إذا حصلنا على قراءات عديدة لمستوى الصوت، سيكون هناك توزيع طبيعى لمستوى الصوت لهذه المسافة المعينة.

ومن الناحية العملية فإن هذا الافتراض صعب اختباره، وحتى في حالة الحصول على عينات متعددة لكل قيمة x فلا توجد لدينا عادة بيانات كافية للتفتيش على طبيعية البيانات.

 

3- إذا أخذنا عدة قراءات مقدرة لكل قيمة x فإن التباين سيكون متماثلاً على طول خط الانحدار (أي أن التباين في y لن يتعرض للزيادة أو النقص مع زيادة x. وعلى الرغم من أنه ليس من السهل اختبار ذلك مباشرة ولكن فحص البواقي يمثل بديلاً نافعاً.

وكل باقي (أي المسافة الرأسية لبعد كل نقطة عن خط الانحدار) يتم رسمه مقابل القيم المقاسة للقيمة x.

والبواقي يجب ألا تتغير بصورة منتظمة مع تغير قيمة x. على سبيل المثال يجب ألا نجد نماذج مثل تلك المصورة في الشكل 5 – 13.

 

وفي الشكل 5 – 13 أ هناك زيادة في التغير غير المفسر مع الزيادة في القيمة x. وفي الشكل 5 – 13 ب فإن العلاقة المنحنية بين البواقي و x تفترض وجود علاقة منحنى قد تكون موجودة بين y و x.

وفي أي من الحالتين علينا إعادة دراسة استخدامنا للانحدار وإذا كنا سنستمر في هذا الأسلوب فإن البيانات يجب أن يتم تحويلها. ومن المهم أيضاً أن ننظر للتوزيعات العنقودية للبواقي (والتي قد تكون مؤشراً للترابط الذاتي مع متغير ثالث لم يتم قياسه).

وبالنسبة للبواقي الفردية الكبيرة بدرجة غير عادية (قيم فردية كبيرة يمكن أن تؤدي إلى تشويه خط الانحدار بدرجة غير عادية وتجعل الانحدار لا يمكن الاعتماد عليه).

 

ولحساب البواقي فإننا نحسب أولاً القيم التنبؤية للقيمة y لكل قيمة x ثم يتم طرح هذه القيمة التنبؤية من القيمة الخاصة بالمشاهدات الفعلية، وبالنسبة لمثالنا الخاص بمستويات الصوت عند مسافات مختلفة بعيدة عن الطريق فإن هذه يتم حسابها في المثال العملي 5 – 3 هـ.

هذه البواقي يتم بعد ذلك رسمها على المحور y مقابل القيم الأصلية x (كما هي مبينة في الشكل 5 – 14) أو القيم الملاءمة (التنبؤية) للقيمة y.

ولا يهم ما إذا كان سيتم رسم البواقي مقابل x أو القيم التنبؤية y إذا كان الانحدار موجباً فإن نفس النموذج تتم مشاهدته.

 

وإذا كان الانحدار سالباً فإن البواقي مقابل القيمة y الملاءمة ستبين وجود صورة عكسية لما يمكن مشاهدته برسم البواقي مقابل القيم x.

في الشكل 5 – 14 فإن البواقي تظهر على أنها ذات توزيع عشوائي بالنسبة لكل من x ولذلك توجد مبررات لاستخدامنا لهذا الانحدار الخطي البسيط. ولأغراض هذا الكتاب فإن اهتماماً بموضوع البواقي ينتهي هنا.

ولكن عند تحليل البيانات الجغرافية المكانية فإن تحليل البواقي نفسها قد يكون من الخطوات النافعة – انظر على سبيل المثال، هيننج (1993) وبارت آند بربر (1999).

اظهر المزيد

مقالات ذات صلة

زر الذهاب إلى الأعلى

Shopping cart

Subtotal
Shipping and discount codes are added at checkout.
Checkout
إغلاق