سطوح متناظرة دورانياً ذات تقوس وسطي ثابت

2000 الرياضيات والشكل الأمثل

ستيفان هيلدبرانت و انتوني ترومبا

مؤسسة الكويت للتقدم العلمي

الرياضيات والهندسة الهندسة

لما كانت السطوح ذات التقوس الوسطي الثابت نماذج لأغشية وفقاقيع صابونية، فمن المهم معرفة أي منها متناظرة دورانياً أيضاً، مثل القرص والسطح السلسلي والأسطوانة. وسنطلق عليها اسم السطوح H الدورانية H-surfaces of revolution. وقد وجد >پلاتو< أنه يوجد بالضبط ستة أنواع مختلفة من السطوح H الدورانية هي: المستوي والسطح السلسلي (تقوسه الوسطي معدوم)، والكرة والأسطوانة والسطح الموجي unduloid وسطح العقد (نودويد) nodoid (تقوسه الوسطي غير معدوم). وقد برهن عالم الرياضيات الفرنسي >دولوني Delaunay <عام 1841 على أن قائمة (پلاتو) للسطوح H الدورانية كانت في الحقيقة ذاتها تامة، وأنها، إضافةً إلى ذلك، يمكن أن تولد جميعها بقاعدة بسيطة نوردها فيما يلي:

 

نثبت مستقيماً نتخذه محوراً للدوران، ثم نختار قطعاً مخروطياً- أي قطعاً ناقصاً أو دائرة أو قطعاً مكافئاً أو قطعاً زائداً- ونتصور أن هذا القطع المخروطي يتدحرج على المحور. عند ذلك نرسم كل بؤرة (محرق) منحنياً يسمى رولاد البؤرة (منحني تدحرج البؤرة). ولدى تدوير هذا المنحني حول المحور، فإنه يولد في الفضاء واحداً من السطوح H الدورانية الستة، ونعرض في الشكل العلوي من الصفحة التالية خمسة من المنحنيات المولدة لهذه السطوح.

وعلى سبيل المثال، فإن بؤرة الدائرة ترسم مستقيماً موازياً للمحور، ويكون السطح الدوراني الموافق في هذه الحالة أسطوانة وإذا تدحرج قطع ناقص، فإن أيا من بؤرتيه تشكل منحنياً متموجاً لا يلاقي المحيط أبداً، ولدى تدويره فإنه يولد السطح المرجي، وإذا لم تكن بؤرتا القطع الناقص بعيدتين جداً إحداهما عن الأخرى، فإن كلاً من المنحنيين المتموجين يكون ضعيف التموج، وعندما تقترب أكثر فأكثر من كونه أسطوانة.

إن المقابل المتطرف للقطع الناقص هو القطعة المستقيمة، التي يمكن عدها قطعاً ناقصاً مضمحلاً (متردياً) degenerate بؤرتاه بعيدتان إحداهما عن الأخرى بأكبر قدر ممكن: نهايتا القطعة هما بؤرتاه. ورولاد هذه القطعة المستقيمة هو متتالية من أنصاف الدوائر (تهبط إحدى النهايتين في حين تدور النهاية الثانية راسمة نصف دائرة، وهكذا) تولِّد لدى دورانها متتاليةً من  الكرات المتساوية.

 

وإذا بقيت إحدى بؤرتي القطع الناقص على بعد منتهٍ، في حين ابتعدت الأخرى بلا تناه، فإن القطع الناقص يتحول إلى قطع مكافئ، ويغدو رولاد بؤرته سلسلياً، وهو كما رأينا خط طول السطح السلسلي the meridian of cantenoid .

أخيراً، سنشرح كيفية توليد منحني تدحرج (رولاد) إحدى البؤرتين. لنتصور أن فرعي القطع الزائد وصل أحدهما بالآخر بصلابة بحيث يمكنهما الحركة كوحدة فقط. لندحرج أحد فرعي القطع الزائد العلوي من المحور، إلى اليمين مثلاً، من أحد الخطين المقاربين (المحاذيين)  asymptote إلى الآخر⁽¹⁾، ثم الفرع الآخر على الطرف السفلي من المحور إلى اليمين. من أحد الخطين المقاربين إلى الآخر. وبتكرار الدحرجة عدة مرات مع الحركة دوماً نحو اليمين، وبتتبع أثر إحدى البؤرتين، فإننا نجد منحنياً يمتد دون حدود إلى اليمين. وهكذا فإننا نجد منحنياً أملس ذا عدد غير منته من العرى، وهذا المنحني يولد سطح  العقد الذي هو السطح H الدوراني.

ويولد المستوي بدوران خط مستقيم حول محور يقطعه عمودياً. بيد أنه انطلاقاً من اعتبارات حدية، فإن مثل هذا العمود يعد نهاية متتالية من أنصاف الدوائر، أنصاف أقطارها تتزايد إلى ما لا نهاية. وهكذا فإن العمود يمكن أن يفسر بأنه رولاد قطع ناقص طوله غير منته ورقته غير منتهية.

 

 

 

 

[KSAGRelatedArticles] [ASPDRelatedArticles]