الرياضيات والهندسة

تحليل “فريدمان” للتباين باستخدام الرتب للمجموعة المتوافقة

2012 استخدام الإحصاء لفهم البيئة

فيليب ويذر وبني أ.كوك

KFAS

تحليل فريدمان للتباين باستخدام الرتب للمجموعة المتوافقة الرياضيات والهندسة الهندسة

وبنفس الأسلوب كما هو الحال بالنسبة لتحليل التباين البارمتري ANOVA توجد حالة خاصة لتحليل التباين ثنائي الاتجاهات للبيانات غير البارمترية حيثما كان هناك خط أصلي واحد فقط لكل خلية.

وتحليل فريدمان للتباين باستخدام الرتب للمجموعة المتوافقة يعتبر هو الاختبار المناسب لهذا الوضع.

ويمكن النظر لهذا الاختبار كامتداد لاختبار ولكوكسون للأزواج المتوافقة والذي ناقشناه في الفصل 4 حيث يوجد أكثر من عينتين يتم الحصول عليهما من المجموعات المتوافقة.

 

وهذا الاختبار معروف أيضاً بأسماء أخرى عديدة: تحليل التباين ثنائي الاتجاهات باستخدام الرتب (على الرغم من أن هذا يمثل فعلياً حالة خاصة للتحليل ثنائي الاتجاهات للتباين).

أو كتحليل التباين باستخدام الرتب للمقاييس المتكررة، أو يعرف باسم تحليل التباين بالبلوكات العشوائية غير البارامترية (وذلك لأنه يمكن استخدامه على البلوكات العشوائية بنفس الأسلوب مثل تحليل التباين البارامتري ثنائي الاتجاهات مع المشاهدات الفردية في كل خلية).

ولكن على العكس من المكافئ البارامتري فإن أسلوب فريدمان يختبر فقط دلالة متغير العمود، ولا يوجد مقياس لتغير المتغير المتوافق (الصف) يتم الحصول عليه. والشكل 7 – 12 يبين تصميم التحليل.

 

ويلاحظ أن اختبار فريدمان يستخدم رتب البيانات بدلاً من القيم الفعلية، ولكن هنا البيانات لا يتم ترتيبها عبر الجدول بالكامل (كما هو الحال في اختبار كروسكال واليس).

ونظراً لأن البيانات في مجموعات متوافقة فإننا نقوم بترتيب كل مجموعة بشكل منفصل بدورها (أي كل صف في الشكل 7 – 12) عبر العينات.

وبعد الترتيب فإن إجمالي الرتب لكل عينة (عمود) يتم حسابه ويتم حساب المعيار الإحصائي الاختباري باستخدام الصيغة الحسابية المبينة في المربع 7 – 9.

 

لتصوير أسلوب فريدمان، دعونا ننظر لأسراب الأسماك في البحيرات في أقاليم عديدة في سكاندنافيا تتأثر تأثيراً ضاراً بالأمطار الحامضية.

وإننا نرغب في أن ندرس ما إذا كانت هناك فروق بين ثلاثة أنواع من الأسماك في حدود تأثرها بذلك. وفي كل من الأقاليم العشرة فإننا نقيم حالة أسراب السمك من نوع السلمون البني وسمك الفرخ النهري وسمك الشباط القطبي للحصول على البيانات المبينة في المثال العملي 7 – 9 أ.

وتوجد ثلاث نقاط للبيانات المتوافقة لكل إقليم. واختبار فريدمان له متغير مستقل 1 فقط (أنواع السمك) وسلسلة من المجموعات المتوافقة (الأقاليم).

 

وتم تسجيل حالة الأنواع الثلاثة داخل كل إقليم على المقياس التالي:

1- نسبة أقل من 25% من الأسراب تعرضت للفقد أو تأثرت بذلك، والتي تأثرت أكثر من التي فقدت.

2- نسبة أقل من 25% من الأسراب تعرضت للفقد أو تأثرت بذلك، والتي فقدت أكثر من التي تأثرت.

3- 25 – 75% من الأسراب تعرضت للفقد أو التأثر، والتي تأثرت أكثر من التي فقدت.

4- 25 – 75% من الأسراب تعرضت للفقد أو التأثر، والتي فقدت أكثر من التي تأثرت.

5- أكثر من 75% من الأسراب تعرضت للفقد أو التأثر، والتي تأثرت أكثر من التي فقدت.

6- أكثر من 75% من الأسراب تعرضت للفقد أو التأثر، والتي فقدت أكثر من التي تأثرت.

 

والبيانات في المثال العملي 7 – 9 أ تم تجميعها في ثلاثة أعمدة (تمثل أنواع السمك الثلاثة)، وإذا استخدمت برنامج كمبيوتر اختبارات تحليل التباين ANOVA الخاصة بك فإن هذا النموذج للبيانات سيكون مناسباً. انظر الجدول ب – 7 الملحق ب). لتفاصيل مدخلات البيانات للتحليل الإحصائي باستخدام الكمبيوتر.

لاحظ في المثال العملي 7 – 9 أ أن الترتيب يتم عبر صفوف الجدول (أي داخل كل مجموعة). وهكذا فبالنسبة للصف 1 (الإقليم 1) فإن الدرجات 3 و 3 و 5 مرتبة بالترتيب 1.5 و 1.5 و 3.

ويمكننا أن نرى أن Fr بالقيمة 7.8 ونحتاج الآن لنحدد ما إذا كان هذا يمثل دلالة إحصائية. وبالنسبة للأعداد المنخفضة من المجموعات (g) والعينات (k) فإننا ننظر إلى القيمة Fr في جدول خاص (ويوجد اقتباس منه مبين في الجدول 7 – 11).

 

وعندما يتجاوز عدد العينات 5 أو إذا كان عدد المجموعات كبيراً (يزيد على 13 للقيمة k = 3 ويزيد على 8 للقيمة k = 4 ويزيد على 5 للقيمة k = 5)، فإن Fr يتم تقريبها إلى القيمة كاي تربيع باستخدام درجات الحرية k – 1 (انظر الجدول د – 8، الملحق د). وبالرجوع للمساحة المظللة في الجدول 7 – 11 عند القيمة k = 3 و g = 10، فإننا نجد أن القيمة التي حسبناها Fr (7.8) تقع النطاق بين P < 0.05 (6.2) والقيمة P < 0.01 (9.6).

ولذلك فإن احتمالات أن تكون القيمة Fr باحتمال أقل من 0.05 ولكن أكبر من 0.01. وعندما تكون هناك قيمة مرتبطة عبر المجموعات فإن القيمة P تكون غير دقيقة بدرجة بسيطة ويزداد احتمال القبول الزائف للافتراض الصفري (خطأ من النوع 2).

وبمقدار ما يزداد عدد الرتب المرتبطة بمقدار ما تنخفض دقة حسابات الاحتمالات. ويمكن تطبيق معامل تصحيح – انظر النصوص مثل زار (1999) أو زيجيل وكاستيلان (1988). وإذا كان برنامج الكمبيوتر الخاص بك يقدم لك قيم مصححة للارتباطات، يتم تسجيل القيمة المصححة P.

 

وإذا كنت تقوم بأداء الحسابات يدوياً، فإن عدم الدقة هكذا يمثل مشكلة فقط إذا كانت لديك نتيجة ليست ذات دلالة بصورة هامشية (أي أكبر من 0.05 مباشرة).

وإذا كانت النتيجة ذات دلالة أو إذا كانت أكبر كثيراً من 0.05 فإنها ستظل هكذا حتى ولو صححناها بخصوص الأربطة.

ويبدو من الحساب أن سمك السلمون البني هو الأسوأ تأثيراً، يليه في ذلك سمك الفرخ النهري ثم سمك الشباط القطبي.

وكما هو الحال مع التحليلات الأخرى لاختبارات التباين، فإننا نحتاج الآن لاختبار مقارنة متعددة لتحديد ما إذا كانت هذه الفروق التي تمت مشاهدتها ذات دلالة إحصائية.

 

والاختبار الذي سنستخدمه هنا هو اختبار نميني للمجموعات المتوافقة (انظر المربع 7 – 10) وحسابات بياناتنا مبينة في المثال العملي 7 – 9 ب، وإننا نجد أن هذا هو الفرق الوحيد الجوهري ذو الدلالة بين أسراب سمك السلمون وسمك الفرخ النهري، وسمك السلمون هو الذي تأثر بأسوأ التأثير. ويمكننا لذلك أن نقول ما يلي:

 

                                                                                            

يوجد فرق جوهري في الأضرار التي أصابت أسراب الأسماك بين ثلاثة أنواع في البحيرات التي تأثرت بالأمطار الحامضية (Fr متوافقة بحسب الإقليم = 7.8، وعدد الأقاليم = 10 و P < 0.05).

وباتباع اختبارات نميني للمجموعات المتوافقة فإن سمك السلمون هو الذي تأثر بأسوأ تأثير أكثر من سمك الفرخ النهري (P < 0.05) أما سمك الشباط القطبي فلم يختلف عن سمك السلمون أو الفرخ النهري (P < 0.05).

الجدول 7 – 11: القيم المختارة Fr بالنسبة لتحليل فريدمان للمجموعة المتوافقة للتباين باستخدام الرتب.

والتظليل يبين القيم الحاسمة للمثال المشار إليه في النص ويتم رفض الافتراض الصفري إذا كانت القيمة المحسوبة Fr أعلى من القيمة في الجدول.

والقيم العليا في الجدول (بالأحرف السميكة) للقيمة P = 0.05 بينما القيم السفلى للقيمة P = 0.01. ويوجد جدول شامل للقيم Fr مبين في الجدول د – 12 (الملحق د).

اظهر المزيد

مقالات ذات صلة

زر الذهاب إلى الأعلى
Loading cart ⌛️ ...
إغلاق
إغلاق