الرياضيات والهندسة

الأعداد الخيالية والأعداد المعقدة

2013 تبسيط علم الإلكترونيات

ستان جيبيليسكو

مؤسسة الكويت للتقدم العلمي

الرياضيات والهندسة الهندسة

تُشتق مجموعة الأعداد التخيلية من الجذر التربيعي لـ 1 الذي يسميه الرياضيون العدد الخيالي الوحدة i والمهندسون المؤثِّرَ j.

إنّه العدد الذي عندما يُضرب بنفسه يُعطي ناتجاً قدره -1. دعنا نستعمل الترميز الهندسي ونسميه j، عندها، يمكن أن نقول إنّ

j x j = -1

وأيضاً، إذا ضُرب j  بنفسه، يُعطينا -1 لأنّ جداء عددين سالبين يُعطي دائماً عدداً موجباً ويكون

-j) x (-j) = -1)

 

ويختلف الجذر التربيعي الموجب لـ  -1 عن الجذر التربيعي السالب لـ  -1  مع أننا عندما نجذر أيّاً منهما، نحصل على  -1. (ننسى غالباً أن  1يمتلك على السواء جذرين تربيعيين: -1  و 1! وفي الواقع، تمتلك كل الأعداد الحقيقية جذرين تربيعيين، أحدهما موجب والآخر سالب).

يجب علينا أن نلاحظ أيضاً أن

(-j) x j =1

و

j x (-j)  =1

يمكننا ضرب j بأي عدد حقيقي X والحصول على عدد تخيلي jX. بهذا، يمكننا تمثيل مجموعة الأعداد التخيلية الممكنة جميعها على خطّ (مستقيم) أعداد خيالية يشبه خطّ الأعداد الحقيقية المعروف.

وعندما نضع خط الأعداد الخيالية على زاوية قائمة من خط الأعداد الحقيقية ونصل الخطَّين عند نقطتي صفرَيهما، نحصل على مستوي الإحداثيات المبين في الشكل 3-1.

 

الأعداد المعقّدة

عندما نجمع عدداً حقيقياً R مع عدد خيالي jX، نحصل على عدد مركب. (قد يكون المصطلح الأفضل هو الأرقام المركبة (Composite numbers) ولكن الذين عملوا مع هذا النوع من الأرقام أول ما يدعونها بالمعقدة ولم يغير أي أحد هذا المصطلح).

الأعداد الحقيقية ذات بعد واحد (one-dimensional) وتمثل على خط مستقيم متسلسل بسيط، ولذلك، تسمى مقادير سلّميّة (Scalar Quantities). كما تكون الأعدادُ الخيالية أيضاً وحيدةَ البعد يمكن تمثيلها على سلم بسيط واعتبارها سلّميّة أيضاً.

ومع ذلك، إذا رغبنا تعريفَ عدد مركب بشكل كامل، نحتاج إلى بعدين. لهذا السبب، يمثّل مُختصّو الرياضيات والمهندسون عموماً الأعداد المركبة على شكل مقادير موجهة (Vector Quantities)، ويمكننا التعبير عن أي عدد مركب على الشكل R + jX حيث يمثل كل من R وX أعداداً حقيقية وj الجذر التربيعي الموجب لـ -1.

يمكننا أيضاً تمثيل عدد مركب على شكل نقطة على مسطح إحداثيات ثنائي الأبعاد.

 

يتطلب جمع الأعداد المركبة جمع الأجزاء الحقيقية والأجزاء الخيالية بشكل منفصل، وكمثال

(4 + j7) + (45 – j83) = (4 + 45) + j(7 – 83)

= 49 + j(-76)

= 49 – j7

 

ويتمّ طرح الأعداد الخيالية بنفس الطريقة مع أنّه يجب ألا تلتبس علينا الإشارةُ، وكمثال

(4 + j7) – (45 – j83) = (4 + j7) + [ -(45 – j83)]

= (4 + j7) + [ -1(45 – j83)]

= (4 + j7) + ( -45 + j83)

= -41 + j90

 

فكرة مفيدة: يمكنك دائماً أن تطرح الأعداد الخيالية بضرب الكمية الثانية بإشارة سالب وجمع الكميتين بعد ذلك كما فعلنا في السطر الثاني للحساب أعلاه. ويساعدك هذا الاحتيال في تقليل مخاطر "أخطاء الإشارة".

التقدم العلمي
‫‪اللقاحات القابلة للأكل..
اللقاحات القابلة للأكل تعد بديلا مناسبا للحصول على لقاحات آمنة وفعالة، وهي لقاحات تحتوي على مولد ضد صالح للتناول دول عدة تراهن على الطحالب الدقيقة المعدلة وراثيًا لتطوير لقاح لمرض كوفيد-19 صالح للأكل مستخدمة الهندسة الوراثية د. طارق قابيل أستاذ في كلية العلوم - جامعة القاهرة مصر
     منذ استشراء جائحة فيروس كورونا المستجد المسبب لجائحة كوفيد-19، هرعت كثير من المؤسسات الطبية وحكومات بعض الدول إلى تكثيف البحوث ودعم الدراسات الهادفة ... (قراءة المقال)
مجلة مدار
‫‪إنشاء مستشفيات جديدة في ووهان
ع إبلاغ المستشفيات القائمة عن نقص في الأسرّة بسبب زيادة الطلب الناجم عن انتشار فيروس كورونا السريع، قررت الصين في 24 يناير البدء ببناء مستشفيات جديدة. بعد أقل من أسبوعين، فتحت أبواب المرافق الطبية الجديدة لاستقبال أول المرضى.
أنشئ مستشفيان جديدان في ووهان، عاصمة مقاطعة هوبي، في الأسبوع الأول من شهر فبراير. واستغرق الأمر أقل من أسبوعين للانتقال من وضع حجر الأساس في الموقع إلى البدء باستقبال أول المرضى. والمستشفيان الجديدان - مستشفى ... (قراءة المقال)
مجلة العلوم
‫‪لماذا تُسبب السمنةُ تفاقمَ مرض كوفيد-19؟
غطية مجلة ساينس Science لأخبار كوفيد-19 يدعمها مركز بوليتزر ومؤسسة هيسينغ-سيمونز Pulitzer Center.
بقلم:     ميريديث وادمان
ترجمة:  مي بورسلي
 
في ربيع هذا العام، بعد أيام من ظهور أعراض تشبه أعراض الإنفلونزا والحمى، وصل رجل إلى غرفة الطوارئ في المركز الطبي بجامعة فيرمونت Vermont Medical Center. كان شابا، في أواخر الثلاثينات من عمره، وكان يعشق زوجته وأطفاله الصغار. وكان يتمتع بصحة جيدة، وقد كرّس ساعات لا نهاية لها في إدارة ... (قراءة المقال)
مجلة العلوم
‫‪الفيروس التاجي يثير التخمينات حول موسم الإنفلونزا
قلم:    كيلي سيرفيك
ترجمة: مي بورسلي
تغطية مجلة ساينس Science لأخبار كوفيد-19 يدعمها مركز بوليتزر  Pulitzer Center ومؤسسة هايسنغ-سيمونز  Heising-Simons Foundation.
في شهر مارس 2020، بينما كان نصف الكرة الجنوبي يستعد لموسم الإنفلونزا الشتوي أثناء محاربة مرض كوفيد-19 COVID-19، وضعت شيريل كوهين Cheryl Cohen -عالمة الأوبئة، وزملاؤها في المعهد الوطني للأمراض المعدية National Institute for Communicable Diseases بجنوب إفريقيا اختصار: ... (قراءة المقال)
مجلة العلوم
‫‪كيف تقاوم العدوى باستعادة شباب جهازك المناعي
قلم:    غرايام لاوتون
ترجمة: محمد الرفاعي
اغسل يديك بعنايةٍ لعشرين ثانية، غطّ عطستك بمرفقك، تجنب ملامسة وجهك، ابقَ على مسافة مترٍ عن الآخرين، وكملجأ أخير ٍ، اعزل نفسك بعيداً عن الجميع لمدة أسبوعٍ مع ما تحتاج إليه من أغراض. وإذا أردت أن تتجنب فيروس كورونا المستجد، فكل هذه أفكارٌ جيدةٌ. لكن، في نهاية المطاف، خطُ الدفاع الذي يقف بينك وبين الإصابة بكوفيد 19 Covid-19 هو جهازك المناعي.
نعلم أن الجهاز المناعي يَضْعُفُ عندما نتقدم في ... (قراءة المقال)
مجلة العلوم
‫‪لقاح أكسفورد آمن ويحفز على الاستجابة المناعية
قلم:    كلير ويلسون، جيسيكا هامزيلو، آدم فوغان، كونارد كويلتي-هاربر، ليلى ليفربول
ترجمة: مي منصور بورسلي
آخر أخبار فيروس كورونا حتى 20 يوليو 2020 الساعة 5 مساء
 
لقاح أكسفورد المرشح للتطعيم ضد الفيروس التاجي يبدو آمنًا ويحفز على الاستجابة المناعية
اللقاح ضد الفيروس التاجي Coronavirus الذي طورته جامعة أكسفورد University of Oxford بالتعاون مع شركة الأدوية آسترازينيكا AstraZeneca آمنٌ وينشط الاستجابة المناعية لدى الأشخاص، ... (قراءة المقال)
مجلة مدار
‫‪مهمة فوياجر والنقطة الزرقاء الباهتة: كيف التُقطت الصورة الأكثر شهرة في العلم
لدكتور ستيوارت كلارك عالم الفلك وعلم الكونيات
يسمونها النقطة الزرقاء الباهتة Pale Blue Dot. قد تكون واحدة من الصور الأقل إثارة للدهشة التي يُحتمل أنك شاهدتها، لكن في الوقت نفسه، ربما تكون الأكثر أهمية. والشيء الوحيد ذو الأهمية حقيقةً في الصورة هو بكسل أزرق واحد باهت. ومع ذلك، فإن الضوء الملتقط في ذلك البكسل يأتي من الأرض. إنه ما يبدو عليه كوكبنا كله من مسافة نحو ستة بلايين كم أربعة بلايين ميل. وقد ألهمت عالم الكواكب الشهير كارل ساغان Carl ... (قراءة المقال)
مجلة مدار
‫‪البشر الذين عاشوا في الصحراء الكبرى قبل 10,000 سنة تناولوا السمك على العشاء
شفت دراسة بقايا الحيوانات في الصحراء الكبرى أن البشر الذين عاشوا هناك قبل 10,000 سنة كانوا يأكلون الأسماك على العشاء. فقد نقّب باحثون من متحف التاريخ الطبيعي في بلجيكا Natural History Museum in Belgium وجامعة سابيِنْزا Sapienza University في روما ما مجموعه 17,551 عظمة، بما في ذلك عظام أسماك وضفادع وتماسيح وطيور. لقد اكتشف علماء الآثار في السابق أدلة على أن جبال تادرارت أكاكوس Tadrart Acacus في جنوب غرب ليبيا في الصحراء الكبرى كانت أكثر رطوبة ... (قراءة المقال)
مجلة مدار
‫‪يحجم الحبار عن اتخام نفسه على الغداء إذا عرف أنه سيحظى بوجبة روبيان دسمة على العشاء
ندما يعلم الحبار أنه سيظفر بطعامه المفضل على العشاء، ينضبط ويأكل كمية أقل على الغداء، وفقاً لبحث جديد أجراه باحثون من جامعة كيمبريدج University of Cambridge. و الحبار هو نوع من الرخويات الرَّأْسقَدَمِيَّات رأسيات القدم Cephalopod ويعتمد على نظام غذائي متنوع يشمل السلطعون والأسماك والحبار والروبيان الجمبري، لكنه يفضّل أطعمة معينة. وبعد التأكد من أن الروبيان كان الطعام المفضل للحبار الأوروبي الشائع سيبيا أوفيشيناليس Sepia officinalis، وجد ... (قراءة المقال)
‫‪10 دروس قصيرة في السفر الفضائي
ول بارسونز الناشر: Michael O’Mara السعر: 9.99 جنيهاً إسترلينياً - غلاف ورق مقوى
يلبي كتاب 10 دروس قصيرة 10 Short Lessons in Space Travel لمؤلفه العلمي بول بارسونز Paul Parsons كامل طيف الفضول البشري، ابتداءً بأقدم رغبات الإنسان في استكشاف الكون إلى أحلامه التي تحققت حاليا، وصولاً إلى ذلك الوعد المستقبلي الذي يصعب وصفه. فقد صاغ المؤلف كتابه بأسلوب ذكي وبسيط، وبأسلوب يلائم المبتدئين أو هواة علوم الفضاء المتمرسين على حد سواء. ويتقصى كتاب ... (قراءة المقال)
‫‪كاميرا الفيديو الفلكية Altair GPCAM2 327C
قلم: تيم جاردين
تتمتع عائلة Altair Astro من كاميرات GPCAM الفلكية بسمعة طيبة بين الفلكيين، لسهولة استخدامها وإنتاجها صور عالية الجودة. وبناء على هذا الأساس، قدمت شركة Altair الكاميرا GPCAM2 327C. إنها كاميرا لقطة ملونة واحدة One shot colour camera اختصاراً: OSC تمتاز بحساسية زائدة عن سابقاتها. وبساطة الكاميرا GPCAM2 327C، في كل من الإعداد والاستخدام، يجعلها مثالية للحصول على أفضل فرص الرصد في السماء الصافية. وبمجرد تنزيل برامج تشغيل ... (قراءة المقال)
كيف تعمل الآشياء
‫‪هل سيحل الذكاء الاصطناعي محلنا؟
المؤلفة: شيلي فان Shelly Fan ■ الناشر: تيمز وهدسون Thames & Hudson ■ السعر: 12.95 جنيه إسترليني/18.95 دولار ■ تاريخ الإصدار: صدر حديثاً
هذا سؤال كبير، وقد طرحه عُشَّاق التكنولوجيا على أنفسهم منذ ظهور أولى الآلات المستقلة في خمسينات القرن العشرين. فهل سيمثل تحقّق الذكاء الاصطناعي الحقيقي هو الفعل الأخير للجنس البشري؟ شاهد أفلام هوليوود الرائجة وسيُغفر لك اعتقادك أننا هالكون بالفعل- وفقاً لها، نحن نعيش بالفعل في عالم مصطنع أنشأه أسيادنا ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪التصنيع التجميعي للمعادن .. تطبيقات واعدة تواكب الثورة الرابعة
. عمار الشغري باحث في علم المواد بجامعة ماكغيل ، كندا
منذ أن انطلقت الثورة الصناعية الرابعة وهي تسعى إلى تحقيق اختراقات كبيرة في جميع المجالات وإحداث تطورات هائلة فيها، ربما كان في مقدمتها زيادة القدرة التنافسية الاقتصادية من خلال دمج تقنيات الإنتاج الحديثة في تقنيات المعلومات الجديدة. ويعد التصنيع التجميعي Additive Manufacturing أحد العوامل الرئيسية التي تعزز تلك الثورة وتمكنها، إضافة إلى أمور أخرى كإنترنت الأشياء والحوسبة ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪آفاق التعدين .. تقنيات تعزز الإنتاج وتجنب الأخطار
. خالد علي النجدي أستاذ المناجم والتعدين، جامعة الطائف السعودية
تنظر معظم دول العالم إلى قطاع التعدين باعتباره المحرك الرئيسي للتنمية الاقتصادية فيها، والمستقطب لاستثمارات كبيرة تسهم في مجالات عدة كتعزيز الصادرات، وفرص العمل، وتطوير البنية الأساسية لاسيما في المناطق الريفية، ونقل التكنولوجيا إلى البلدان المضيفة. ومن بين جميع النشاطات الصناعية، يعتبر التعدين وغيره من أشكال الاستخراج من أخطر هذه النشاطات في العالم. وهذه حقيقة معروفة في ... (قراءة المقال)
التقدم العلمي
‫‪تقريب العلم من الجمهور
ظي عشاق العلم والطلبة والباحثون والخبراء في الكويت بفرصة الدخول إلى عالم الفيزياء الحديثة الرائع والغامض من خلال مجموعة متنوعة من الأنشطة والألعاب والأفلام وتجارب الواقع الافتراضي، عبر معرض علمي استضافته جامعة الكويت برعاية مؤسسة الكويت للتقدم العلمي. اشتمل معرض المنظمة الأوروبية للأبحاث النووية اختصاراً: منظمة سيرن CERN في الكويت، الذي نُظم في الفترة من نوفمبر 2019 إلى يناير 2020، على عرض مبسط للأبحاث الأساسية التي تجريها منظمة سيرن ... (قراءة المقال)
‫‪رسم خريطة الكواكب اكتشاف العوالم الأخرى خارج كوكبنا
ن رووني الناشر: آركتورس  14.99 جنيه إسترليني مجلد غلاف فني
يقودك تصفح رحلة آن رووني المصورة عبر المجموعة الشمسية إلى إدراك أن الكواكب الأخرى خارج كوكب الأرض كانت تعرف قبل أربعة قرون على أنها مجرد نقاط ضوء بعيدة في سماء زرقاء مخملية. وخلال عدة عشرات من الأجيال تفتحت أعيننا على ما تصفه لنا الأكاديمية والكاتبة العلمية رووني ب: طريقة مختلفة للمعرفة. فلأول مرة يسعى علماء الفلك إلى أكثر من مجرد معرفة مدارات الكواكب، ويدركون أنها عوالم مجاورة ... (قراءة المقال)